L. Paiwvin
Journal fur die reine und awgewandte matrematik (Çrelle, t. LVIl, i*"^ cahier, iSSg.) r, r. (TOirp. w).
Mécanique,
H. Helmholt^ (pages 1-72) , à Heidelberg. Théorie des oscillations de l'air dans des tubes ouverts aux deux bouts,
La théorie des tuyaux d'orgues a occupé plusieurs géomètres et physiciens. Le premier en date est Daniel BernouUi [Aoad. des Sciences, 1762). Viennent ensuite :
Euler (N. C. A. Peter, , t. XVI, p. 347; '77^)-
Poisson [Acad. des Sciences, t. Il, p. 3o5; 1847).
MM. Quel (Journal de Idouuill^j t. XX, p. i);Duha* mel (ibid., t. XVI, p. 49)»
Masson (Ann. de Chinde et de Phys. , 3® série ; t. XL , p. 4i8).
Werlheim (ibid., 3® série; t. XXXI, p. 42^8).
Soudliaufs (Poggendorffs Ann,, l. LXXXI, p. 347)-
Hopkins (Trans, ofthe Camb. Philos. Soc, vol. V).
Les théoriciens ont recours à diverses hypothèses •, par exemple, que les directions des molécules d'air dans l'intérieur du tube sont toutes parallèles à Taxe*, que dans chaque section transverse, les molécules aériennes ont même vitesse, supportent la même pression; qu'à l'embouchure la densité est nulle, ou du moins très-petite; qu'à cette embouchure, il y a passage subit d'ondes planes à ondes sphériques^ etc., etc. M. Helmholtz abandonne toutes ces hypothèses , et résout le problème uniquement d'après les données mathématiques. A cet effet, il établit deux fonctions : l'une géométrique, relative à la forme du tube, à l'aire de l'embouchure, et l'autre dynamique, relative aux forces qui engendrent les vibrations sonores, et, s'appuyant sur des théorèmes de physique moléculaire, établis par Green (Crelle, t. XLIV, p. 36o); il démontre que ces fonctions (p et ^ jouissent des mêmes propriétés que les fonctions potentielles dans les théories électriques et magnétiques. Les points attractifs sont remplacés, en acoustique, par des points excitant les vibrations. Il assigne les emplacements des tranches à vitesse minima et densité maxima (tranches nodales), et fait entrer dans son calcul la longueur des amplitudes et la durée des phases. Ce qu'il y a de plus remarquable et de plus nouveau , c'est l'état dynamique de la portion. du tube qui «ivpisine l'ouverture et celui de Tair environnant extérieu-
( 78 ) rement, où se propagent les ondes sphëriques. Les sons co/cii/é5 s'accordent assez bien avec les sons expérimentés par Hopkins, Wertheim et Soudhaufs; Tintégratlon amène vingt-sept équations principales, dont chacune a des équations corollaires.
Ce Mémoire , sujet d^une belle thèse, serait une excellente importation.
A. Clkbsch, de Carlsruhe (p. 73-77). Théorie des moments d'inertie et du mouvement de rotation autour d'un point.
Soient Ma', Mft', Me' les moments d'inertie par rapport aux trois axes principaux passant par le centre de gravilé; menant par ce centre une droite faisant avec ces axes les angles ^ , |3 , y, le moment dMnertie par rapport à cette droite sera
M (a' C08^ a 4- ^* COS* P -I- C' CDS» 7) j
faisons
(i) p»=û2cos*a +-^*cos»p-h<r*côs*7;
par rextrémité de p , menons un plan perpendiculaire à p , et ayant pour équation
U V iV
on a
cosa = — pa, cosp= — pt', ces 7= — pw; donc
construisons Fellipsoïde
OU a ce théorème :
La perpendiculaire abaissée du centre de gl^avilé sur
(79) le plan tangent à cet ellipsoïde, représente le rayoi^ ù'iwERTiE pris par rapport à cette perpendiculaire.
L'auteur nomme cet ellipsoïde second ellipsoïde central ^ pour le distinguer du premier en usage , dont les demi^diamétres sont proportionnels aux racines carrées de moments dHnertie inverse. Si l'on fait passer un axe par un point (j:, y, z)^ on a pour équation
OÙ
( i=:(«'-4-r»)tf»-f-(ô2-+-r»)<'»-H(c«-f-r»)«'» I — ( K^r + py H- wzYj
et u, P", w ont même signification que dessus. Faisant Tarîer u, p», iv, l'équation (3) est celle d'une ellipse qui a pour centre le point or, y^ z^ et les perpendiculaires abaissées de ce centre sur les plans tangents sont les rayons d'inertie relativement aux divers axes passant par ce centre -, pour trouver les axes principaux de cet ellipsoïde , il faut rendre minima
«** -f- <»* -H w^ = -zit f
ce qui mène à cette équation du troisième degré :
On voit que ce sont les trois surfaces confocales à l'ellipsoïde (a) , et les rayons d'inertie principaux qui passent par le point x^ y^ z otoi pour direction les normales menées de ce point à ces trois surfaces , et pour valeurs V'r* H- X', \^r * -f- (X*, v/r * H- v* , X , fx , v étant les paramètres de^ trois surfaces confocales.
Lorsque p est constant, Tellipsoïde (4) représente, en optique^ les vitesses de propagation des rayons dans les* milieux cristallisés.
L'auteur établit encore plusieurs théorèmes intéressants y entre autres ceux-ci :
Les points pour lesquels les moments d'inertie principaux sont égaux , forment la ligne focale sur Tellipsoïde (z) i
Si dans l'ellipsoïde (z) on mène le rayon vecteur qui représente l'axe du couple moyen der beiveugngs grosse, le plan tangent passant par son extrémité indique le plan de rotation du corps ^ et la normale passant par cette extrémité est l'axe instantané de rotation 5 on suppose fixe le centre de gravité ; la vitesse instantanée de rotation est inversement proportionnelle à la perpendiculaire abaissée du centre sur ce plan tangent.
Et d'autres théorèmes analogues à ceux de M. Poinsot.
Calcul infinitésimal.
S. Spitzer, à Vienne (p. 78-80). Note sur T équation différentielle de la série hyper géométrie.
Cette équation, qu'on doit à Gauss, est
x{l'-x)y' + [ j — {a H- p -h /i) 7r]y — ap^ = o.
Dans le t. LVI (p. 149) de Crelle, M. Heine a donné l'intégrale de cette équation , trouvée dans les papiers laissés par Jacobi. M. Spitzer s'occupe de l'intégration dans le cas spécial où a ::= j3 , et trouve
et ne fait que vérifier celle intégrale par différentiation. Dans une Note additive, M, Borchardt montre qu'on peut déduire facilement le cas particulier de la solution générale.
S. Spitzer, à Vienne (p. 82-87). Sur P intégration de P équation différentielle
par des intégrales déterminées.
Kummer a donné l'intégrale des équations de la forme
m étant entier et positif. (Crelle, t. XIX.)
M. Spitzer, en suivant à peu près la même marche, ramène à des intégrales déterminées l'intégration de l'équation
m eniier positif >2/ïete=:=i=i.
Supposons qu'on sache trouver l'intégrale de Téquation
et qu'on ait
^(x) renfermant n -f- 1 constantes arbitraires 5 on aura pour intégrale de l'équation x^ -^ = — ejr,
et entre les /i-H-i constantes, il existe une relation qui les réduit à n constantes.
Bulletin mathématique, i. V. (NoTcmhre iSSg.) 1 1
( 83 ) Exemple, L'intégrale de réqualion :t*"+* —^^ = z est
z = .r" VC, ^ ^ -f- C, /-' -^ -f- . . -f- C«+, e ^ / ,
où les /!JL sont les racines de /ji""*"* = i .
(iy"
Alors on a pour intégrale de x^ "+* ^-^ == — /,
où
Géométrie.
De Staudt (Erlangen) (p. 88 et 89). Quelques propositions de Géométrie.
(Voir 7owr«a/.)
Àriihmologie.
OEttinger (Fribourg. Brisgau)(p. 90). Deux théorèmes. ( Voir Journal. )
Mélanges,
BoRC.HARDT, rédacteur (p. 91 et 92). Sur Pierre-Gustai^e
Le jeun e-Dirichlet.
Le 6 mai de cette année (iSSg), les sciences naturelles ont fait une perte immense dans la personne de M. de Humboldt, et les sciences exactes, la yeille, dans la personne de Diriohlet. L'illustre analyste est né le i3 février i8o5, à Diiren, près Aix-la-Chapelle, alors du département de la Roër. Le premier il a établi un passage entre le continu et le discontinu numérique, et a pour ainsi dire jeté un pont entre le monde infinité-
(83) simal et le monde arithmétique : c'est sa découverte capitale , et qui léguera son nom aux générations de Tavenir. Esprit profondément pénétrant, d'une logique consciencieusement sévère , notre ancien compatriote s'est attaché aux parties les plus ardues de l'ardue théorie des nombres 5 irente-six Mémoires sont insérés dans le recueil de l'Académie de Berlin, dans les journaux de Crelle et de Liouville. Il avait encore de grands projets en vue 5 mais travaillant presque toujours de tête, et jetant au plus quelques calculs intermédiaires sur des feuillets volants , on n'a malheureusement rien trouvé dans ses papiers, sinon un travail concernant l'hydrodynamique, et dont on peut espérer une prochaine publication.
Outre un génie créateur, Dirichlet possédait des qualités professorales tellement émin entes, qu'elles ont exercé une influence considérable sur les progrès mathématiques en Allemagne. Les Leçons sur la théorie des nombres, sur les forces agissant en raison inverse des carrés des distances y sur les équations aux d^érences partielles linéaires, sur les intégrales déterminées^ leçons imprimées sur des copies soignées , formeront le meilleur traité sur ces matières.
Il n'a pas laissé d'ouvrages, mais on peut considérer comme tels, et des meilleurs, des disciples comme feu Ei&enstein et Borchardt.
Sa femme, objet d'une vive affection, l'ayant procédé de quelques mois, hâta la catastrophe. Petite-fille du philosophe Mendelsohn, sœur du compositeur de ce nom, épouse du géomètre, elle s'est toujours montrée digne de cette triple illustration; brillante tiare.
M. B. Tortolini a exprimé d'éloquents regrets sur cette mort prémaiur.ée [Annalii n" 3, iSSp^ p. 196), et 3 rappelé le séjour que fit Dirichlet à Rome , d'octobre i %^'S à avril 18447 ^^^^ toute sa famille, alors composée de sa
(84) femme et de deux petits garçons. II était accompagné de ses deux amis Jacobi et Steiner, et de son élève Borchardt. Jacobi comparait le géniede Dirichlet à celui de Lagrange : même lucidité, même profondeur, même intensité, mêmes tendances arithmologiques. Il a été admis comme précepteur dans la famille du général Foy, a Paris. Aimant la France de prédilection, il m'a témoigné le désir d'y obtenir une chaire *, désir non réalisable. Toutefois G>1bert considérait Tacquisition d'illustres étrangers comme une riche importation. C'est à cette idée grandement patriotique que nous devons Cassini, Maraldi. — Utinaml sapienti sat.
Exercice d'analyse numéhïque, Extraits, Commentaires et Recherches , relatifs à l'analyse indéterminée et à la théorie des nombres 5 par V.-A. Le Besgue, Professeur honoraire de la Faculté des Sciences de Bordeaux, membre correspondant de l'Institut. Paris, iSSp. Chez Mallet-Bachelier, libraire. Prix : 3 francs.
La science des nombres n'est pas tout entière dans l'arithmétique, c'est-à-dire dans les procédés des calculs 5 elle comprend encore et surtout Farithmologie , ou théorie des nombres, dont les ouvrages élémentaires ne peuvent parler que d'une manière accessoire. Ainsi, l'élève qui explique la divisibilité d'un nombre par 9 ou par II, fait de l'arithmologie sans le savoir 5 mais cette science , si peu répandue, n'en est pas moins une des plus élevées et des plus attrayantes pour les esprits supérieurs.
L'arithmologie est bien ancienne-, on doit la faire remonter à Pythagore , et même plus loin. A la vérité , notre siècle est trop positif pour adopter les idées mystiques dont s'inspirait ranliquilé*, mais plusieurs illustres mathématiciens s'y sont livrés avec une ardeur qui semblait
(85) s'accroître par les difficultés toutes particulières à ce genre d'études.
Cependant il n'existait pas de traité qui résumât la science avec méthode et qui complétât ces deux grands monuments, la Théorie des nombres et les Recherches arithmétiques f au moyen des matériaux épars dans une foule de Mémoires dus à différents auteurs. C'est ce qu'a tenté avec courage et bonheur M. Le Besgue, déjà connu lui-même par de beaux travaux d'arithmologie, et l'ouvrage qu'il publie sous le titre modeste à' Exercices y n'est autre chose que la première partie du traité que réclamait le monde savant.
Dans la première section, intitulée Observations pré' liminaires y l'auteur rappelle que deux nombres sont congrus entre eux relativement à un module y c'est-à-dire à un nombre quelconque, lorsque la différence de ces deux nombres est divisible par ce module. Il expose ensuite'divers théorèmes sur les permutations, les nombres figurés, etc.
La deuxième section contient l'analyse indéterminée du premier degré , traitée d'une manière complète. On y trouve une foule de développements importants, que ne renferme aucun des traités ordinaires d'algèbre •, par exemple, les règles de Paoli et de M. Hermite pour le nombre de solutions positives. Chemin faisant, l'auteur expose la théorie du plus grand commun diviseur et plusieurs théorèmes sur les nombres premiers.
La dernière section porte le titre â! Applications y parce qu'elle montre les conséquences de ce qui a déjà été vu sur les congruences et les nombres premiers, mais elle contient, en réalité, des développements théoriques aussi intéressants que variés. On y remarque la décomposition des nombres en carrés et bicarrés , ainsi que différents théorèmes sur les nombres premiers , et notamment celui
(86) de Wilson, qui caractérise ces nombres. Enfin, l'auteur signale l'usage que Ton fait , depuis Gauss , des nombres complexes imaginaires formés des racines de Funité, et montre aussi l'emploi des séries divergentes.
S'il se présente, comme nous l'espérons pour l'honneur de la science , un nombre suffisant de souscripteurs , M. Le Besgue achèvera par parties détachées ^ mais complètes, la publication de son beau travail, dont cette brochure de i5o pages forme à peu près le tiers.
Nous devons louer chez M. Le Besgue, outre la précision et la clarté du style , une réserve bien nécessaire dans des questions aussi délicates. Quand une démonstration lui paraît obscure ou insuffisante, il le dit franchement. Il doute, à plus forte raison, des théorèmes énoncés sans démonstration , surtout dans la mystérieuse théorie des nombres premiers. Par exemple, est-il vrai, comme on l'a dit, qu'au delà de toute limite donnée, on trouve deux nombres impairs consécutifs et preniiiers? Est-il vrai que tout nombre pair soit la somme de deux nombres premiers ? C'est probable , mais ce n'est pas certain.
Une pareille prudence n'est que trop justifiée dans Tétude de l'arithmologie. On sait qu'Euler a montré la fausseté d'un théorème de Fermât, qui avouait, à la vérité, ne pas en avoir la démonstration. On sait aussi que la Théorie des Nombres , de Legendre , contient quelques théorèmes inexact^. En un mot, c'est dans cette science, plus que dans toute autre, qu'il ne faut rien affirmer sans preuve, pas même le fameux théorème de Fermât, que F Académie des Sciences remet tous les ans au concours.
Pour faire la part de la critique , nous désirerions chez M. Le Besgue des indications \m peu plus précises sur les sources auxquelles il a puisé. Ainsi , nous voyons bien
( 87 ) que le théorème énoncé par Fermât sur les nombres figurés a été démontré par Cauchy 5 mais quelle est cette démonstration, ou, du moins, dans quel Mémoire se trouve-t-elle? Peut-être, du reste, Fauteur se proposet-il de compléter ces indications dans les publications successives.
Nous voudrions donc voir compléter cet ouvrage , d'autant plus indispensable que ceux de Gauss et de Legendre, déjà épuisés, ne sont plus au courant de la science, et nous unissons nos vœux à ceux de M. Le Besgue, pour que de nombreux souscripteurs lui permettent, par une modique offrande, d'achever l'édifice qu il a si bien commencé. Ch. Housel,
Professeur.
Traité des surfaces du second ordre et développements
DE géométrie analytique A TROIS DIMENSIONS, à l'usagC
des candidats aux Ecoles Polytechnique et Normale; par M. Saint-Loup, docteur es sciences , professeur au Lycée de Strasbourg , et M, Bach y chargé du cours de mathématiques pures à la Faculté de Strasbourg, chevalier de la Légion d'honneur. Paris, 1869; în-8*^ de 96 pages avec planche. Chez Mallet- Bachelier, libraire. Prix : 3 francs.
Ce Traité contient, en moins de 100 pages , toutes les connaissances exigées par les Programmes , et même au delà. La méthode fort simple exposée au début de l'ouvrage pour la classification des surfaces est contenue en principe dans un Mémoire de M. Finck [Journal de Liouville, i838). Si les auteurs ne l'ont pas cité, c'est sans doute parce que cette méthode, que M. Finck luimême attribue à M. Plûcker, revient à décomposer en carrés l'équation de la surface, idée qui est aujourd'hui tombée dans le domaine public.
Malgré le peu d'étendue de l'ouvrage ^ les auteurs ne
(88) négligent pas les exemples numériques '^ enfin ils ajoutent quelques considérations sur des surfaces d'un degré supérieur au second , telles que le tore et la surface de Fonde. Du reste, l'ouvrage est écrit avec autant de clarté que de précision, et nous pensons qu'il peut être mis avec avantage entre les mains des élèves. Ch. Housel,
Professeur.
Résumé de Leçojss de géométrie analytique et de calcul infinitésimal; etc.; par J.-B, Belangery ingénieur en chef des Ponts et Chaussées, professeur de mécanique à l'Ecole Polytechnique. In-8 de 296 pages avec planches. Paris, 1869. Chez Mallet-Bachelier, libraire. Prix : 6 francs.
Nous ne saurions recommander avec trop d'instance cette instructive production aux professeurs enseignants et aux jeunes étudiants. On y trouve ce qu'il est indispensable d'apprendre, et le savant auteur possède le talent excessivement rare de savoir ce qu'il ne faut pas dire. Des exemples numériques , choisis avec sagacité , éclaircissent les théories abstraites. La trigonométrie est présentée comme science de rapports; idée émise dans le Manuel de Géométrie (Roret). On regrette que, se conformant à l'usage, Tauleur n'ait pas adopté la division décimale du cercle. Trois professions repoussent très-illégalement cette division: les bladiers, les négociants en vins et les astronomes. A Paris le blé se vend par i5o litres et la farine par 157 kilogrammes; mêmes variations dans d'autres marchés. Dans la Côte-d'Or, il y a des tonneaux de 456? 114^57 litres. On ignore pourquoi les astronomes ont abandonné le système décimal admis par Laplace, Borda, Legendre. On prêche l'adoption de ce système : l'exemple est la meilleure des prédications.
( 89 ) TABLE DES MATIÈRES PAR ORBRE HÉTHOMOUE.
(TOMEV.)
Auljse algébrique.
• Pages. Sur les équations cubiques à coefficients rationnels ; par M. Kronecker 22
Démonstration simple de Tirréductibilité de l'équation
par M. Arndt ... 23
Théorèmes sur les fonctions homogènes entières; p^r M. Otto. Hesse 5i
ArithmokgM.
Composition du nombre 47 par rapport aux vingt-troisièmes racines de Tunité ; par M. Cajiex - 24
Propositions complémentaires aux lois générales de réciprocité ; par M. Kummer 52
Aialjse des fermes.
Décomposition des formes quadratiques; par M. Arndt 7
Nombre de genres des formes quadratiques ; par M. Arndt* . . 7 Nombre de classes de formes quadratiques; par M. Arndt 7
Aaalyse {eictioiieile.
Représentation de certaines fonctions par une formule somma*
toire d*Euler ; par M. lApschitz 8
Sur les fonctions E de Lamé; par M. Heine 8
Quelques propriétés des fonctions ; par M. Heine 8
Galcel iitiitésinal.
Variation seconde des intégrales multiples; par M. Clehsche, . 25
lluUttin mathématique, t. V. (Décembre iSSq.) 12
Pages.
Coefficient des séries dont les termes sont des fonctions sphé-
riques d'une Seule variable ; par M. Bauer a6
Intégrale de l'équation différentielle
— +i— + i=odx^ X dx *
par M. Lipschitz ^7
Sur quelques espèces d'intégrales elliptiques; par M- Rhotig, . 58 Sur l'équation différeigielle de la série hypergéométrique ; par
M. Spitzer 80
Géométrie;
Courbes à double courbure de troisième classe et de troisième
ordre { Cf-elle) ; par M. Schrotter 6
Observations sur le Mémoire précédent; par. M. JoachimstaL 7 Application de^i théorie des coordonnées elliptiques à la géométrie de l'ellipsoïde (thèse) ; par M. Vahon 10
Sur les lignes géodésiques; par M. Bôklen 14
Tangentes des courbes algébriques, théorèmes; par M. Bis-
cJioff, 17
Sur les normales d'une conique ; par M. Cayiey, aa
Théorème de la géométrie analytique élémentaire (distances à
deux points et à des lignes fixes); par M. JoachimstaL .... 5o Extension des propriétés du quadrilatère aux tétraèdres, pen-
taèdres et hexaèdres ; par M. Hermès 56
Système de coordonnées trilitères et quadrilitères 65
Mécanique.
De problemate quodam mechanico, quod ad primam intégra- ' Hum ultra ellipticorum classem revocatur ; par Neumann, . . 9 Sur l'intégration des équations hydrodynamiques ; par M. Clebs-
che 9
Théorie des oscillations de l'air dans les tubes ouverts aux
deux bouts ; par M. Helmhokz ,. 76
Théorie des moments d'inertie et du mouvement de rotation
autour. d'un point ; par M. Clebsche 78
Bibliographie.
The mathematical Monthly 3
Pagetc .
Tables d'intégrales définies; par M. Bierens de Hann 29
Leçons sur la théorie des fonctions circulaires; par M. Le
Cointe. { Compte rendu par M. de Jon^fiières ,] 35
Leçons sur les, coordonnées curvilignes et leurs diverses applications; par M. Lamé» ( Compte rendu par M. Paincin,), . . 74
Historique et Biographie.
Problème des jeunes filles, etc t
Théorèmes de Waring sur les nombres premiers 2
Indices fractionnaires, différentiels et intégrales. 9
Prix proposé par l'Académie de Berlin sur les lignes de courbure i3
Sur la rectification de la méthode d'approximation de Newton ;
par M. Prouhet 39
Gergonne ^ 40
Invention des exposants fractionnaires et incommensurables;
par M. Prouhet . '. 4*
Calcul de TT. 46
Biographie de Sharp 47
Lettre autograjphique de Legendre 49
Âges de quelques grands géomètres 5o
Sur le théorème de Tinseau ; par M. Prouhet 59
Sur plusieurs écrits relatifs au comte Jacques Riccati ; par
M. Baldassar Boncompagni 61
Notes historiques sur les courbes planes 7»
