V.Wj
car, dans la première droite
et dans la dernière,
U,Vrf =
= UrfV.,
et ainsi des autres.
NOTE HiSTORiailE SUR LES COURBES PLANES.
Euler est le premier qui ait remarqué le paradoxe que deux courbes de degré n peuvent se couper en un plus grand nombre de points qui suffisent pour les déterminer. [Mém. de VAcad. de Berlin y 1748.)
La même difficulté a été signalée par Cramer, dans son Introduction à V Analyse des lignes courbes, 1750; mais les ibéorèmes géométriques qui dérivent de ce paradoxe n'ont été trouvés que dans le siècle actuel ; c'est en 1827. Gergonne a démontré que si parmi les n^ points d'intersection de deux courbes de degré n , np sont sur une courbe de degré/? moindre que w, les w (n — p) rcs-
(73) tants sont sur une courbe de degré n — p, (Annales,
t. xxvn,p. 220.)
Vers le même temps ^ Plûcker a donné ce théorème :
Toutes les courbes de degré n qui passent par-^ 1 -^ i
'•* ^ * (n — i)(n'i^2) points fixes passent encore par — — autres
points fixes, (Entwicklungen, vol. I, p. aaS; Gergonne, jinnaleSy t. XIX, p. 97, 129.) Quelques années après, ont été discutées les relations entre les points d'intersection des lignes et ctiAles des surfaces de différents dégrés. Exemples :
Une courbjg de degré n guipasse par np — ^ i^ 1
points d^une courbe de degré p <^ n , rencontre en-
core cette courbe en — '-^ '- autres points fixes.
{Journal de Crelle, t. XV ^ p. aSS, Jagobi^ t. XVI ,
p. 475 Plîtcker.)
Enfin ) on doit à M. Cayley ce théorème généi'al :
m , n ^ r étant trois nombres entiers, r supérieur soit à m
ou soit à n , mais inférieur à (m-Hn — 3); une courbe de
, , . ,^ (iiH-ïi — r — i)(m-hn--r--2) degré r qui passe à traders i— ■- — — ^
points des mn points d'intersection de deux courbes de degré m et n^ passe encore par les autres points d'in^ tersection, [Camb. mat. Journal , vol. III, p. 121 1.) (Extrait des High,. planes, p. 25.)
Bulletin mathématique, t. V. ( Octobre iSSg.) lO
(74) BRUOGRAPHIB.
LeÇOUS Sim tES GOORDOIfllÉES GUKVlLIGIfES ET LEUES DI- VERSES APPLICATIONS^ par M. G. Lamé. In>8 avec figures dans le texte; iSSp. Prix : 5 francs, chez Mallet- Baelielier, libraire.
Sous ce titre modeste , M. Lamé a réuni les principes d'une analyse toute nouvelle ; c'est un horizon immense ouvert aux recherches mathématiques. Comme tous les ouvrages du savant académicien , ce dernier livre se distingue par Tunité des vues , la clarté et l'élégance de Fexposition. Nous ne pouvons donner qu'une idée succincte des matières contenues dans ce volume.
Un poin^ de r espace i>e!;i| être regardé comme déter-< miné par F intersection de trois surfaces^ orthogonales ; les paramètres de ces surfaces , dites surfaces conjuguées^ sont les coordonnées curvilignes du point.
Cet ouvrage contient deux grandes divisions, savoir :
1°. La théorie^ comprenant :
Les formules qui servent à passer des coordonnées reotUignes à des coordonnées^ curvilignes ifuelconque^;
Les expressions des courbures des surfaces conjuguées et de leurs intersections;
Enfin les équations aux différences partielles qui régissent les paramètres différentiels de ces surfaces.
En supposant Féquation de la surface mise sous la forme
(p étant une constante arbitraire) , on appelle paramètres différentiels du premier et du second ordre les exprès-
SlOIlâ
3*\ Les applications f qui renferruent :
La. détermination analytique des coordonnées elliptiques ^
La transformation en coordonnées curvilignes dû mouvement d'un point matériel ;
Les systèmes cylindriques isothermes et en particulier le système bi-circulaire et le système des lemniscates;
La transformation des systèmes orthogonaux par rayons vecteurs réciproques;
Les équations de la théorie mathématique de l'élasticité en coordonnées curvilignes;
Enfin la solution complète du problème de l'équilibre d'élasticité dans les enveloppes sphériques.
On constate, dans ces applications, les «remarquables analogies des lois mathématiques qui régissent : le potentiel , dans la théorie de l'attraction ; la température, dans celle de la chaleur; la dilatation cubique et les déplacements moléculaires, dans celle de l'élasticité. C'est un rapprochment sur lequel M. Lamé insiste fréquemment. Nous devons en effet espérer que , dans un avenir plus ou moins lointain, on rattachera à une seule et unique loi mathématique les divers phénomènes physiques classés actuellement sous des dénominations différentes.
D'après ce rapide aperçu, on pressent les nombreux résultats dont on dû s'enrichir la physique et la géométrie. Entreprendre une analyse plus complète, serait vouloir reproduire l'ouvrage lui-même.
Nous ne pouvons cependant nous empêcher de signaler deux remarquables exemples d'intégration. Le pre^ mier a pour objet la recherche d'un système orthogonal
( 76 ) 4onl l'ellipsoïde est une des surfaces conjuguées , ce qui conduit aux coordonnées elliptiques. Le second donne la solution générale du problème de l'équilibre d'élasticité dans le cas des enveloppes sphériques. Là tout est nouveati, et l'élégance du calcul ne le cède qu'à ta difficulté de la question. Ce sont deux modèles à suivre dans les proUèmes de ce genn^. Nou^ devons donc savoir un gré infini à l'auteur d'avoir conservé la méthode d'invention dans l'exposé didactique de ces théories et de leurs applications.
La physique mathématique a été l'origine de la découverte des coordonnées curvilignes; aussi est-ce sur ce terrain que la nouvelle analyse a fait le plus d'explorations. Néanmoins la mécanique, la géométrie ont déjà été puiser à ses formules , et la théorie des coordonnées curvilignes est destinée à prêter les plus grands secours à toutes des branches des mathématiques.
Il ne nous Iteste plus maintenant qu'à formuler un désir : c'est de voir la Théorie de la chaleur suivre bientôt les Leçons sur tes coordonnées cuivilignes.
