THÉARÈNES DIVERS ET PROBLÈMES SDR LES COURBES PLANES

f TOir t. XVII, p. IM) ;

Par m. J. STEINER.

i3. Théorème X. p est un point dans le plan d'un triangle ABC. On peut circonscrire au triangle une conique P*, et y inscrire une conique PJ, qui aient chacune pour centre le point p. Les deux coniques sont toujours de même espèce, deux ellipses ^ deux hyperboles ou deux paraboles. Si dans les deux coniques les produits des axes sont égaux ^ le lieu du point p est formé de deux courbes du troisième ordre ^ sas^oir :

1®. P' : les trois asymptotes passent par le centre de gravité du triangle ABC et sont des tangentes à! inflexion , et parallèles aux côtés du triangle. Les trois branches hyperboliques de la courbe P' sont dans les espaces extérieurs au triangle et touchent ses côtés au milieu ; P' est le lieu des centres des hyperboles.

2°. PJ : cette courbe est formée de deux parties; l'une fermée, o^ale^ et l'autre consiste en trois branches hyperboliques-, l'ovale est dans l'intérieur du triangle et touche ses côtés au milieu, et à chaque point de cet ovale correspondent des hyperboles \ les trois branches infinies ont pour asymptotes les côtés du triangle circonscrit au triangle ABC, parallèlement à ses côtés, et sont situées dans les angles de ce triangle ; chaque point de ces branches correspond à des ellipses-, l'ovale est dans l'intérieur de l'ellipse, qui touche aussi les trois côtés des triangles aux milieux A', B', C

Les trois segments de l'ovale, au-dessus des cordes A' B', B' C, G A\ sont équwalents^ de même que les segments de l'ellipse.