Wj

r/a^ A^âTti da^^ dau da^^ da^^

Ces préliminaires étant posés, nous allons discuter les équations (4) et (5).

Première hypothèse. -; ; — est différent de zéro»

da^^ da^^ ^

47. En formant dans l'équation (4) le carré par rapport à la variable x^ , on obtiendra

X^da^^da^^ da,^da^^ \da^^dai^] \

r d-'T d'T 1 d^T yi ,

L</«33 da^t da^i da^^ \d(hz da^j J *

doiida^t danda^^ da^^da^ da^^detu}^ après avoir posé

da^^ da^^ da^s da^

OU bien, en ayant égard aux relations (9),

(16) XJ — /wj ( -7—^5 — 2 -— - 0:3 j:* 4- 3— j:Î ) = o. \«<»« dai4 da^j J

Nous sup|)05érons toujours que rtti et m^ ne sont pas nuls ; ce n'est qu'à U fin de la discussion que nous étudierons ce cas exceptionnel.

Premiek cas. -1 — est différent de téro.

En formant le carré par rapport à x^ et en posant

dT ^ dT dT

dOii da^i dan

l'équation (16) pourra s'écrire

^•^'"•^,^»-'"' -dT '* = ^^

dOii ou bien , d'après la première des relations (8) ,

De cette dernière équation , nous conclurons que

a) --Î — ; — «^ -; — étant difféients de zéro {*).

^ ' da^^da^^ da^^ '

^T ( il y 3 intersection^ lorsque T^o,

da^^ ^ i il y a tangence^ lorsque T = o ,

il V a nôn4ntersec,, lorsque T-; — -% — >©,

. rfT I

da^i ' J il y a intersection^ lorsqliè T-j — 5 — <o,

il y a tangence, lorsque T = o.

(*) Ces utiles et beaux critérium, résultats d^une discussion conscien* cieuse, ne se trouvent, à ce que je sache, nulle part. Tm.

(95) Le contact résulte de ce que l'hypothèse T=:o, introduite dans Téquation de la projection sur le plan des Xi x^, donne aussi un point ou deux droites qui se coupent; car si i*on fait subit* à l'équation (5) les transformations que nous venons d^eflTectuer, les coefficients de x] ne différeront que par le changement de m^ en m^.

48. Lorsqu'il y a tangence, les coordonnées du point de contact sont données par les équations :

^1 -^^i + /W, JTj -f- /Wj JTs -f- /7I< a?! = O ,

da^^dau iia^^dan da^^da^

dT dT

Par des transformations faciles, reposant sur les relations d'identité que j'ai établies d'abord, on arrive aux valeurs suivantes :

dT dT dT dT

««14 da» da^ da^^