partie du tableau suivant
d^T dT
(IV) -r -; — et - — étant nuls tous deux,
da^^ afl'44 da^^
Si T ^ o , il y a intersection ;
11 y a non 'intersection y lorsque -j — <C ® r
,. V . dT
Si ï == o , \ il y a intersection, lorsque -j — > o ,
., , dT
il y a tangenc€y lorsque — — = o.
dûa
52. Pour que les conclusions que nous venons de déduire soient légitimes, il faut que les hypothèses admises dans ce dernier cas soient compatibles 5 ou, en d'autres termes, que les équations (27), qui représentent alors des plans parallèles au plan des Xi x^ , admettent les mêmes racines ; c'est ce que nous allons vérifier.
Les équations (27), ou mieux les équations (4) et (5)^
( loi ) deviennent, en ayant égard aux hypothèses actuelles,
(27 bis) l
Pour que ces deux équations admettent les mêmes racines en Xi , il faut et il suffit que
i V danda^i dotida^ da^da^^
d^T rf'T d^T
dan ^^44 don da^^ da^ da^^ Or des relations ( 28) , puis des relations (16) et des relalions anaWues obtenues en changeant -; — en - — 1 on
£/fl44 £/«33
déduit immédiatement
^ rfT </T 1 dT
dan da 12 dan ^ da 21
«^44 ^^ii ~ da^t dai2 da^^ da^ X ^«4 e/«„ '
da^dan da^da^ da^^da^x X^sa^^u' d'où l'on conclut
dT d'T d'T
Si l'on introduit enfin ces dernières relations dans les premières équations des groupes (10) et (12) , on arrive à d^T
(3i) cia22da,,
dan da^ Les relations (29) se trouvent ainsi vérifiées.
Troisième hypothèse.
It — 7^ = ^ ? :; — :; — ^ ^ > ^' *; — r- 2 ^'
0^33 ««44. ^«22 ^<3r44 do^ ^,3
53. L^équadon de la projection sur le plan des XfXz, qui devient alor»
d'T d^T rf»T
2 da^i da^^ *
pourra s'écrire de la manière suivante :
\^flr44£/flj3 da^ida^ /'
£^33 </ûf24
, . da,,da,,
rf^ïaj da^t. da:^^ da>^ da^i dû^ da^^ dajz -
dét^i doo.
Or, de la première des formules (7), on déduit la relation
(33) j ^J^l^==fL fL^£L£L,
détiidat4 da^ da^^ da^i da^^
qui fournit, en ayant égard aux identités (9) et (10) et aux hypothèses admises, la relation suivante :
' da^tdat^X da^^da^^da^^da^^ dandu^^da^^da^T,] L'équation (29) prendra dès lors la forme
\da^^ da^^j
{ »«3) d'où Ton conclut immédiatement :
(V) -; ; — et = — étant nuls, et -7 — différent
' da^ida^^ ■ donda^^ da^^da^ ^
de zéro.
ÎU y a iJHersection^ lorsque T ^ o; 1\ y a tangence f lorsque T = o.
Dans ce cas on a
(35) ^, rfT / d^T y
c'est-à-dire que - — est nécessairement positif et ne peut
être nul.
Les coordonnées du point de contact sont encore fournies par les équations (i8) -, la vérification en est facile.
Quatrième hypothèse.
54. L'équation de la projection sur le plan des x^ x^ sera dès lors
c'est Téquation d'une droite. Voyons maintenant ce que devient la projection sur le plan des Xi x^. Les relations (34) et (35) donnent d'abord
puis l'on déduit des identités (8)
dT dT dr
- — = 0, - — = 0, - — = 0; dau da^i da^
( ïo4)
des identités (9) et (10)
des identités (11) et (i3), ou des formules {i5)
' = o» -, — 3 — = Oy -3 :;— = o.
da^^dnis donda^ da^^da^x
Ou voit alors que l'équation ( 5 ) , projection de la courbe dMntersection sur le plan des x^ x^y se réduit à
c'est encore une droite. Le plan coupe la surface suivant une droite \ Fautre droite est à l'infini. Cela aura lieu
tant que -1 — et - — ne seront pas nuls à la fois , et « dans ^ da^i dan ^
cecaSy ils sont nécessairement positifs (35). Si Ton a à la fois
dT __ dT da^^ da^
il çn résulte des relations (35)
da^i dan dai2 da^
puis des relations (i i) et (12)
cPT d'I
da^idon danda^^
c'est-à-dire que la première droite est aussi à l'infini j le
( ««5) plan est tangent à rinfîni* Ainsi
VI) - — -— , - — -— , - — ~- étant nuls, y ' daniio^t danda^^ da^^da^^
Od a
et
dT dT 11 V a intersection^ lorsque -r — et -i — ne sodI
^ É^ss da^i
pas nuls à la fois.
11 y a tansence à V infini ) , dT dT
. . , lorsque-;— = cet -7—= o,
ou coïncidence, ] da^^ dan
Cinquième hypothèse.
55. Quel que soit le plan donné, un au moins des coefficients m^y m^^ m^ n'est pas nul \ c'est la ligne correspondante au coefficient non nul que nous conviendrons de placer la première dans le déterminant T. Cette précaution étant toujours prise , il en résulte quB la quantité m^ ne saurait être supposée nulle.
11 ne restera donc plus à examiner qu'une seule hypothèse, celle où m, est nul, car la valeur de m^ ne joue aucun rôle dans les discussions précédentes.
Or si m, = o , le plan sécant est parallèle à Taxe des oTs, il suffit alors de discuter la projection sur le plan de x^ Xi , et les résultats obtenus dans les discussions précédentes se maintiendront évidemment.
56. Je vais maintenant résumer les conclusions qui viennent d'être établies, en en présentant le tableau sous divers points de vue.
AV
