DE QUELOUES QUESTIONS D ANALYSE INDÉTERMINÉE
Résoudre en nombres entiers V équation ^l^ — ny*= i, dans laquelle on suppose que n représente un nombre entier, positif y non carré.
I. Cette question, proposée par Fermât « comme un défi à tous les géomètres anglais, )) n'a été, en définitive, résolue d'une manière cbmplèle et rigoureuse que par Lagràiïge-, il en a donné deux solutions^ la seconde (*),
(*) Algèbre d'Euler, t. II, Additions, et Théorie des nombres de Legendrc.
( "3 ) fondée sur les propriétés des fractions continues périodiques, se déduit simplement d'une proposition établie dans les Nous^elles jénnalcs.
Il a été démontré (t. I, p. 19 et 20) que
La racine carrée d'un nombre rationnel, qui n est pas un carré ^ est exprimée par une fraction continue périodique, dont la période est précédée d'un seul quotient incomplet; et qu'en outre, le dernier quotient incomplet de la partie périodique est double du quotient incomplet qui précède la période.
On peut donc écrire
rt-t-elc,
ou,
, parce que 2 a -4- = a -+- i/w",
^ ^ « -+■ etc. '
a-f- sfn.
Désignons par —Tune des réduites correspondantes à
Tavant-dernier quotient incomplet q de la période, et
p par ■— la réduite précédente qui se termine au quotient
incomplet p) l'équation (i) donnera, comme on sait,
Q'(a-hV^)-i- P' * d'où
(Q'a H- P' — Q) v/« = Qa -H P — Q'n.
Mais, v« étant supposé incommensurable, celte dernière équation exige qu'on ait :
Q'a-4-P'— Q=o, et Qa -h P — Q'« = o. Delà
" = — Q^' et « = — Q
Donc,
Q — P^ Q^i-^P Q' - Q ' et, par suite,
(2) Q2,iQ'2=:QP'pQ'.
Lorsque -^-7 est une réduite de rang pair,
QP' — PQ' = + i, et si — est une réduite de rang impair, QP' — pQ' — — I ;
dans le premier cas les nombres entiers Q et Q' satisfont
à l'équation
a^^ nx^=: I,
dans le second ils donnent une solution entière de l'équation
njr^ — jt» = I .
Or, en nommant k le nombre des quotients incomplets
a, b^...^p^ q^ 10L, de la période; et h le rang d'une période, la réduite correspondante à l'avanl-dernier quotient incomplet de cette période sera évidemment hh : il s'ensuit que, si k est pair, les deux termes d'une réduite correspondante à l'avant-dernier quotient d'une période de rang quelconque, donneront une solution entière de l'équation x^ — nj^ = i . Et que, si A est impair, on aura une solution entière de l'équation, en prenant les deux termes d'une réduite correspondante à l'avant-dernier quotient incomplet de toute période de rang pair.
Par conséquent, l'équation x^ — ny^ = i admet, toujours, une infinité de solutions entières. Il reste à faire voir que la règle précédente donne toutes les solutions entières de cette équation. G.
La fin prochainement.
SOLUTION DE U OUBSTION 4S7
(TOlr tome XVil, page 484) ;
Pau m. J. DE VIRIEU.
La formule proposée est un cas particulier de la seconde des formules suivantes :
. . à rinfini,
( 1=^6) et
-f- . . . à rinfiniy
où R et J représentent des constantes quelconques, n une variable positive croissant indéfiniment à partir de zéro, et dont les accroissements successifs sont égaux à i. Ces formules se déduisent de l'expression due à Wallis,
- = Um -•;r'?«5'-**'à rinfini.
En effet, posons
(2 2\ /4 4\ fT-n-^-l 2/2-4-2\
T'a/ \l"s} '" \^^TT*2«-H3J'
2 fi 4\ / ^'^ 2/ï-|-2\
En vertu de l'expression de Wallis, on a
et pour
