ÉQUATIONS RÉSULTANT DE DIVERSES ÉLIMINATIONS

D'après BEZOUT.

1 . Pour opérer Télimination , Bezout a le premier indiqué la méthode des polynômes multiplicateurs, méthode la plus générale, la plus complète , la plus philosophique, la seule qui soit entièrement satisfaisante. Toutefois on n'en parle nulle part. C'est qu'on ne lit pas l'ouvrage ou cette méthode est consignée. Auteur d'ouvrages élémentaires, modèles jamais égalés en clarté et en élégance, Bezout a négligé ces deux qualités dans son ouvrage fondamental, dans sa Théorie générale des équations (i y 'jg), chef d'oeuvre d'analyse, dont Jacobi faisait un très-grand cas, et qui renferme toutes les prétendues nouveautés eu fait d'élimination , entre autres le théorème (p. 342> n^ ^02) , et en partie aussi pour les déterminants (p. 388 et suivantes). Par des questions préparatoires, nous essayerons, volente Deo^ défaire connaître cette méthode. En attendant, nous donnons ici quelques résultats qui seront souvent consulté5.

2. Notation, Les lettres a, i, c, . . . , désignent des fonctions quelconques^ d'un nombre quelconque de variables (a &') = [aV — a' i) ; [ab' </') désignent des déterminants.

R désigne Téquation résultant de T élimination.

Premier exemple, ax-\-h = o, a! X -h />'=o, (R) («*')=o.

Deuxième exemple (p. 3oo) {*).

ax^ 4- ^x -f- c = o , «'ji2-4- ft'ar4-c' = o,

(R) (^i^')(ftc') — (flc')^=o.

Troisième exemple (p. 3oo).

ûj:^ -h ^ j:* -h c j? h- £/ = o , fl'a:* 4- b'x^ -f- c'a: -H ^ = O,

(U) [ (fl^O (ôc' ) - («c')' -h (^rf') («^')] (^^) 1

— [(«ft')(Ô£f) — («c')(rtrf')](Ar/') [ =o.

'^[(ab'){cd'y^[ad!y]{ad!) \

Quatrième exemple (p. Sip).

aj? + 6x)' + c/' 4- <te + <r^ -t-/= o, rf" X -*-«•'/ -H/ = o.,

(R) cK/')' + ('/V') {,l</f') - b {c'f) (d'f) + a K/")'= o.

Si

(rf'a") = o,

(*) Ces pages sont celles de l'ouvrage de Bezoïit.

alors on a

Cinquième exemple (p. 325).

axy -f- b,v -^ cy -\- d =: o y a' xy A- b' X -^ c' y + ^'Z' := o , a" xy -f- b"x 4- c'> + r/" = o.

(R) [ab' c"){bc'd") — {«c'rr) [nb'd")= o.

Sixième exemple (p. 320).

rtj:' -4- bxy -f- rx H- <y^ -f- 6' =r o ,

r/ a;2 -f- b' xy + c' .r -|- r/'/ + e' ^ o , rt''^2 + ^,'' ^j ^c"x-\- d" y -+- Éf" = o . (R) \{abc")[bc'd')^[ab'd") [ac? cr)^[ab' c"){ab' d')\{cd! e") + \{ab'c") [bc^c")-- [ab'd') {ad' e")][ad' e") ^[{ab'c') (bc'e") ^ [ab'c") [av' e")^{ab' c"y] {bd' e")r=:o.