SUR QUELQUES PROPRIÉTÉS DES SURFACES DU TROISIÈME ORDRE
D'après M. F BRIOSCHI.
1. Sur une surface du troisième degré (*) existent, en général, 27 droites (**). M Cayley a démontré que ces
(*) Extrait des Amnali di Sciense matcmatiche e Jisiche, da Barnaba Torlolini, t. VI,i855.
{**) La découverte de ces 27 lignes appartient à M. Hart ( Dublin Journal).
( '39 ) 27 droites forment 4^ groupes chacun de trois droites dans un même plan ; autrement une surface du troisième degré a 45 plans tangents qui touchent la surface, chacun suivant trois droites. Il est évident que chacune des droites est dans cinq des 4^ plans; de sorte que les 4^ plans peuvent se partager en 9 faisceaux de 5 plans chacun (p. i36).
M. Hart a donné une notation très-commode pour indiquer les 27 droites et les 45 plans.
Les droites sont représentées par les 27 lettres
At» Bij Cl ; Aj, B2, C25 As, B3, C3 ;
«i, ^1, c, ; tfj, bif Cj ; «3, ^3, C3 ; «i» ?ij Viî 7»> Pa> «2; «3, p3, 73;
18 plans sont représentés eu unissant dans chaque ligne horizontale trois mêmes lettres avec des indices différents ou troiè lettres diflférentes avec les mêmes indices 5 ainsi la ligne des A donne les six plans
AiAjAa, B1B3B3, C1G2C39 AiB|Ci, A3B2C3, A3B3C3.
De même la ligne des a et des a.
Les 27 autres plans sont
AjCjps, BiCtty^y CjÔaaa,
<'37m ^3ai» Û3pi.
^,a2, f, Pj, c, 7j,
A3 ^372, BsCga}, €3^3 P2,
c^Pu ^il\} ^aai.
La droite Ai est rencontrée par les dix lignes
(M) A2A3B,C,a,6K3aip273;
là droite Âi n'est pas rencontrée par les seize lignes
Chaque ligne de la série (N) est renconlrée par 5 de la série M et par 5 de la série N.
Ainsi Bj est rencontrée par
AjB, a, P273 de la série (M), et par
BaCa^j^sC, de la série (N),
Les 16 droites de la série (N) combinées deux à deux donnent 120 couples de droites^ le cinquième de ces couples sont des droites qui se rencontrent; il y a donc 40 couples où les droites se rencontrent, et 80 couples où il n'y a pas de rencontre ; chacun de ces 80 couples n'est pas rencontré non plus par la droite Ai. Il y a donc 80 ternes de droites où il n'y a pas de rencontre.
2. Ce qu'on dit de Aj s'applique à toute autre droite^ il y a donc — —- = i35 couples dç droites qui se coupent; — ^ =z %i6 couples de droites qui ne se coupent
pas, et, par conséquent, = 720 ternes de droites
qui ne se coupent pas.
Nous appelons terne trois droites qui ne se coupent pas.
3. Ternes conjugués. Soit le terne «liSay^ formé de droites qui ne se coupent pas, et de même le terne «i b^Ci^ mais chacune de ces dernières droites coupe les trois premières droites ; ces deux ternes sont des conjugués et sont, par conséquent, sur une hyperboloïde à une nappe.
Hexagones conjugués, *De\xx ternes conjugués don-
nent naissance à trois hexagones où les côtés opposes se rencontrent; par exemple les deux ternes précédents donnent lès trois hexagones conjugués
a, a» 63 p3 Cj 7j ,
«1 Pa ^3 7»^2«i> /l, 72 Ô3 a, c, p3 .
4. Groupes opposés. Considérant un terne on trouve 6 autres droites dont aucune ne rencontre le terne, et ces 6 droites se partagent en deux ternes.
Exemple. Soit le terne aj (Ba/j; aucune de ces droites n'est coupée par les 6 droites b^c^a^b^a^c^-.^ ces six droites se partagent en deux ternes a, ij C3, a^b^ci ; ces deux ternes sont dits opposés au terne oL^^^y^,
Les groupes opposés à deux ternes conjugués sont eux-mêmes des ternes conjugués.
Exemple, «1^375, a^b^Ci sont des ternes conjugués 5 les groupes opposés au premier terne sont
ârj3|C3,
les groupes opposés au second sont
«1 pi 73 »
a3pa7«»
qui constituent des ternes conjugués.
Dans cet exemple les trois hexagones opposés sont
«i a, ^3p3<?2 7a, a^ix^bi pi C3 73, ûjaj ^, Par, 7,.
Le célèbre géomètre donne encore d'autres considérations du même genre. M. Schlâffli, profond analyste de l'Université de Berne, a traité la même question {Quar-
terfy Journal; mai 1857, p. 65 et iio) et divise la surface en espèces d'après le nombre de droites réelles et imaginaires.
Nous ne comprenons pas encore suffisamment cet important travail pour en faire une exposition; nous en rendrons compte si nous parvenons à le bien comprendre.
