SUR LE NOMBRE DES POINTS NDLTIPLES D DNE COURBE ALGÉBRIQUE

Rectificatioi dra préeééent article;

Par m. Abel TRANSON.

J*ai montré dans ce Journal (mars iSSi, t. X, p. 91) que le nombre des points doubles d'une courbe algébrique de degré n ne peut pas surpasser le nombre

Dans un Mémoire publié à Rome dans le mois de mai i85î [Ânnali di Scienze Matematiche e Fisiche), Mémoire que M. Terquem vient de me communiquer, l'auteur, M. Fortunato Padula, démontre à sa manière le même théorème qui , d'après ce qu'il nous apprend, avait été primitivement énoncé par M. Steiner, et dont M. Padula avait déjà publié une démonstration en i844-

J'avais à la même occasion donné trois autres formules, l'une pour la limite supérieure du nombre des points multiples dont le degré de multiplicité est au moins égal à fx, c'est-à-dire où le nombre des branches qui se rencontrent est au moins fx; l'autre pour le nombre des points de degré fz, lorsque les fx branches s'y touchent au lieu de s'y traverser; la troisième pour le nombre des

points où, sur |!ji branches qui se rencontrent, il y en a /ix' qui se touchent.

M. Padula, dans le Mémoire cî-dessus indiqué, conteste Texactitude de ces trois formules. Je reconnais la validité de sa critique quant aux deux dernières. Je les rectifierai donc tout à l'heure , et on verra que, pour réparer mon inadvertance, je n'aurai pas besoin de recourir à un autre principe que celui sur lequel j'avais fondé mes recherches. Quant à ma première formule, j'ai lieu de croire que M. Padula n'a pas lu bien attentivement cette partie de mon travail.

Voici en effet ce que je disais pour trouver, dans une courbe algébrique de degré n , le nombre des points dont la multiplicité est au moins égale à fx.

K Le nombre des points du degré de multiplicité jx ne saurait atteindre celui des points qui déterminent une

courbe de degré a. (Si cette formule 2 donne

un nombre fractionnaire , entendez alors que le nombre des points en question ne peut pas atteindre celui des points qui déterminent la courbe dont le d^ré surpasse

immédiatement 2). Cela résulte de la relation

où le premier membre de l'inégalité représente le nombre des rencontres nécessaires que la proposée aurait avec une

2 tt courbe de degré 2 passant par des points de multiplicité fx en nombre

» On est donc assuré de pouvoir placer tous les poinls

en question sur une courbe du degré — . — 2. Chacun de

ces points entrera pour une seule unité dans le nombre des points déterminants de la courbe auxiliaire; mais il déterminera « rencontres : de sorte qu'en appelant y le nombre des points cherchés , on a la relation

^ '-i^ Ui,-^)r^(^f-^)n,

d'où on tire pour y la formule suivante

On voudra "bien remarquer que j'avais expressément

réservé le cas où 2 étant un nombre fractionnaire

ne pourrait pas représenter le degré d'une courbe. Mais dans ce cas-là même mon principe ne me faisait pas défaut, et je l'énonçais avec la modification convenable, puisque je disais formellement que le degré de la courbe auxiliaire serait alors le nombre entier immédiatement

supérieur à 2. Avec cette indication, le lecteur que

cela intéresserait pouvait construire la formule relative au cas réservé (**).

(*) Voir Nouvelles Annales, t. X, p. 96. Cette citation peut offrir quelque obscurité au lecteur qui n^aura pas sous les yeux le reste de l'article. Mais cette obscurité se dissipera à l'aide des explications données plus loin pour la rectification des deux dernières formules.

(**) Soit a le nombre entier égal ou bien immédiatement supérieur à

2, selon que celte expression est un nombre entier ou fractionnaire;

( 145 ) Malheureusement ces réserves et ces indications ont été insuffisantes. Après avoir trouvé de son côté une formule

qai , lorsque — est un nombre entier, coïncide exactement avec la mienne , ainsi qu'il a soin de le déclarer Ini-mème, M. Padula met ma formule en défaut, préci-

sèment lorsque — est un nombre fractionnaire. Par ce

moyen il me fait trouver qu'une courbe du cinquième degré n'admet jamais un point multiple du quatrième degré de multiplicité , tandis qu'une courbe du septième degré pourrait en admettre deux. Mais c'est un résultat qu'il m'attribue fort gratuitement.

De mon côté , pour être parfaitement juste , je me plais à reconnaître que, quand ma formule ne coïncide pas avec

celle de M. Padula, c'est-à*dire lorsque — est fractionnaire, la limite que je trouve est moins avantageuse que la sienne.

Et maintenant j'arrive à la rectification de mes deux dernières formules.

Soit y le nombre des points multiples dont le degré de multiplicité est au moins égal à (i , mais où les /x branches de la courbe se touchent au lieu de se traverser.

Soit 2 a le nombre ^al à 1, si cette dernière ex-

le nombre x des pointe cherchés ne saurait atteindre la limite ^^-^ L

a On peut donc prendre sur la courbe donnée un nombre de points égal à

parmi lesquels se trouveront les points cherchés, et y faire

paner une courbe de degré a. Celle-ci aura arec la proposée un nombre de rencontres égal a — i -»-()« — ï)jr; nombre qui ne peut pas dépasser na. D*où il résulte qu'on a ^ £ — ^ — -z r — - 1 formule qui se

ramène à celle du texte lorsqu'on y remplace « par 3.

Ànn. de Mathémat., t. XVIII. (Avril 1859.) < lO

pras^iop ^t im nombre pair; ou bien soil 2a le nombre

pair immédiatement supérieur à i sî celui-ci est im-

pair ou fractionnaire.

J|3 (li« que le nombre y des points ckerchés est néces^ sairefpent, moindre que « (4 « 4- 3) , c'est-à-dire moindre que U moitié, du nombre des condiÛQQS qui déterminent une courbe du degré 4a- Supposons en effet qu'pn puisse avoir ^ = a(4«+3); alors on ppurrsiit , p^r tous ces points , faire passer une courbe du degré 4 « ^^vec U condition que cette courbe auxiliaire aurait en çbacun de ces points même tangente que la proposée ; car ce serait imposer 2 a (4« 4- 3) conditions. Mais alors le nombre des rencontres serait au moins égal à 2fxa (4a -f- 3), expression que j'écris comme il suit :

4«U|*« + -pJ,

ce qui , À cause de î^f*a > » '"- f,t , dow^r^it \in nombre de

rencontres au moins égal à 4» (w -H — jut) , c'est-à-dire un

nombre supérieur 4U prçduit d^§ de|;?'és dçs deuîj équations.

Maintenant prenons sur la courbe un nombre de points égal à a (4 a + 3), parmi lesquels nous aurons cboisi tous les points cberçbés en nombre j*. Construisons une courbe du degré 4* ^^ passe par ces pointç et qui y touche la courbe donnée -^le nombre total des rencontres, comparé au produit du degré des équations , donnera

2a(4«-+-3)-4-a(fit — 1) y<^9.n^

d'où on tire la formule

( »47) Par des coosidéraiions semblables on trourerâ^ poiir le nombre z des points dont la multiplicité est /x et où fx' branches se touchent, ^

formule dans laquelle a a représente le nombre pair égal ou immédiatement supérieur à ^ «^ i •