M QUELQUES QUESTIONS D'ANALYSE INDÉTERMINÉE
(Fin d'un premier article, voir p. 12a. )
II. Nous supposons maintenant que deux nombres Q etQ', entiers et positifs, vérifient l'équation x* — «j* =1 5 ainsi, par hypothèse, on a l'égalité numérique
Il s'agit de démontrer que l'expression fractionnaire ~
est nécessairement une réduite de rang pair de la fraction continue périodique qui représente la valeur de v^, et, qu'en outre, cette réduite correspond à l' avant-dernier quotient incomplet de l'une des périodes de la fraction continue.
Je considère, d'abord, le cas particulier où Q' = i.
Dans ce cas, l'égalité supposée Q* — n Q'* = i , devient Q* — A» = I , et donne >(n = \/Q' — i .
Mais, en réduisant \/Q* — i en fraction continue, on obtient
2(Q-~ i)4-etc.
On voit donc que ~» ou — » est précisément la seconde
réduite (Q — i) H- -5 de la fraction continue périodique
qui représente la valeur de ^/ï, et que cette réduite correspond à Favant-demier quotient incomplet d'une période, qui est ici la première.
En second Iko je sapffùêe Q >• t.
Les nombres Q et Q' sont premiers entre eux, la fraction ^ est irréductible, c'est ce qui résulté de l'égalité
De plu», si Ton désigne fHf a le preieirier qû^atit incomplet de k véiacliati àt^ett fraction cofitinute, oc seta aussi le premier quotient incomplet de la fraction continue égale à ^« Car la relation Q* — «Qf * == i donne
^ = tZ/r-f-— T^ï et il est clair que si ^n est compris enti*e les deux nombres entiers consécutifs a, oc + &, il e& sera de même de i/w -|- — 75*
Ainsi, en ccmveplissant, par la règle ordiftaire l'expression commensurable ^ en fraction continue, on aura ubc
( ,55 ) égalité de la forme
et le dénominateur y, de la dernière fraction intégrante -, sera plus grand que Tunité.
Si le nombre des quotients a , a ,.«., p, ^, est impair, en remplaçant -par ♦ il viendra
l=(-.-Tr^
on peut donc, dans tous les cas, considérer les deux nombres Q et (^ comme les deux termes d^une réduite de rang pair, provenant d'une fraction continue
eic.
dont le premier quotient incomplet est a, le dénominateur 9 de la dernière fraction intégrante - de cette réduite pouvant , d'ailleurs , être égal à Tunité. Cela posé, je désigne par —^ la réduite de rang im-
( i56 ) pair qui se termine au quotient incomplet p précédant q dans la fraction continue (i). Il s'ensuit
QP'— PQ' = +i et P'<Q', P<Q:
de sorte que P' et P sont deux nombres entiers positifs moindres que Q' et Q et qui vérifient l'équation indéterminée du premier degré
Cette dernière équation admet aussi la solution entière
«=Q — aQ', 3' = /iQ' — aQ, car la substitution de ces valeurs de z et 2' donne
Qz-Q'2' = Q(Q-.Q')-Q'(/iQ'-«Q) = Q«— /iQ'»=-hi.
De plus , le nombre Q — a Q' est positif et moindre que
Q' puisque la fraction — est comprise entre a et a 4-i.
De même le nombre tzQ' — aQ est positif et moindre que Q. Cela résulte simplement de ce que l'équation
revient à
Qz — I.
on voit qu'à une valeur entière de z positive moindre que Q' correspond une valeur de z' positive et plus petite que le nombre Q.
Or, on sait que l'équation indéterminée
ne peut admettre qu'une seule solution entière positive, dans laquelle les valeurs des inconnues z et z' soient res-
peclivement plus petites que les coefficients Q' et Q; on
a donc
= /iQ'-
-aQ.
Ces
égalités
étab]
lies 5
pOSOQS
l'équation
d'où
En ayant égard aux égalités ( 2 ) et (3), cette dernière équation se réduit à
^ Q + Q'x On en tire
^QV^ — »Q'V^.(Q — Q^V^) /^ Q-Q'V^ Q-Q'V^ ~
Par suite l'équation (4) donne
a -H elc,
résultat qui montre qu'effectivement la fraction % est
( i58 ) une réduite correspondante à T avant-dernier quotient incomplet d'une période de la fraction continue dont la valeur est ^n. C'est ce qu'il fallait démontrer. G.
REGTIFieATlMi.
Page 2o5 (problème ig) du Programme que j'ai publié avec M. Roguet, au lieu de « Angle qiwlconquey » il faut lire « angle droit, »
Cette rectification m'a été indiquée par M^^* Adolpbine D***. Les Nous^elles Annales doivent déjà i M*^® Adolphine D*** plusieurs excellents articles, [voir t. XVI, p. îi88). G.
NOTE SUR UNE QUESTlftK SE HINIMliN RELATIVE AUX P0LY60NES RÉGULIERS;
t>AR M. MOURGUEj
Pix>feft6ear au lycée I^apoléon.
Théorème. Le centre d'un polygone régulier est le point pour lequel ta somme des m'*™** puissances de ses distances aux sommets ou aux cotés de ce polygone est la plus petite possible*
Pour le démontrer, il suflSt de considérer dans le plan du polygone un point X différent du centre O, et de faire voir qu'il en existe un second pour lequel la somme des distances de Tordre m est moindre.
Admettons un instant la proposition suivante :
Lemme. Si trois nombres positifs x, y, a, dont les deux
premiers sont inégaux, vérifient (i) ^•4-y>aa,
ils vérifieront aussi V inégalité
(2) iL'"-f-y"'>>2a''.
Corollaire. Si x^ y^ a, désignent respectivement deux c6tés d'up triangle et U médiane qu^ils comprennent, ou bien encore les deux bases d'un trapèxe çt la parallèle équidistante, la relation (i) sera satisfaite et par suite aussi (a).
Gela posé, figurons-nous la circonférence décrite de O comme centre avec OX pour rayon , et inscrivons-y, à partir de X, un polygone semblable au proposé polygone.
Soit Y le second sommet dans Tordre de Tinscription. Les distances respectives de X et de Y à d«ux sommets ou à deux côtés qui se succèdent, dans le polygone proposé, suivant l'ordre précédent, sont égales comme côtés homologues des triangles évidemment égaux, qu'on obtient en joignant le centre aux extrémités de ces droites.
Pflr conséquent aussi les m^*™®" puissances des dis^ tances du point X, aux sommets ou aux côtés du polygone donné, sont respectivement égales à celles qui concernent le point Y.
En second lieu, soît A le milieu de XY et or, y, a les distances des points X, Y, A , à un sommet ou à un côté ({uelconque du polygone « Eu vertu du corollaire on aura
•af*" -H 7"* ]>• 2 . fl" ;
d où , par addition des inégalités analogues ,
Mais
( '62 ) (|ue Gauss a considérée d'une manière générale et avec toute la rigueur désirable. Il a exprimé la somme de celle série par des fonctions gamma, et donné la condition nécessaire et suffisante de sa convergence qui est simplement la suivante
En faisant
on trouve la formule de M. Catalan.
On peut aussi la démontrer par la méthode de Pars€val.On a
séries qui sont convergentes toutes les deux lorsque le module analytique de x est l'unité. En multipliant^ on obtient un résultat de cette forme
(l) V^2 — (a: 4- X-') = A H- 2 Bar'" -|-Vcx-",
OÙ
Je fais maintenant
âc =z cos f H- v^ — I sin y ,
je multiplie (i) par rfç et j'intègre de 9 = 0 à (p=:2ît. îl vient
\^2 — {j7-f-.r"~') = ^2 — 2 cos f = 2 sin - <p , jp" = cos yw <p -f- V — I sin /w y ,
Jt-":= cos /If — \/ 1 SÎD /Z (f ,
et, par stiîle,
8 = A.2ir, d'où A =: -•
Tf
On a une autre démonstration en multipliant Véquation
i — J\ — z^ sin' © = - 2- sin-© H '—7 z* sin* *
par — ^ et intégrant entre les limites z = o, z = i,
Je remarquerai encore que Gauss a aiisâi transformé la série F (a, (3, y) en fraction continue, et en un produit d'une infinité de facteurs, mais qu'il n'est pas l'inventeur de la décomposition de l'intégrale eulérienne B (^, ç) en un nombre infini de facteurs : cette décomposition est due à Euler lui-même dont les formules et les méthodes sont rapportées par Lacroix dans le III volume de son grand Traité.
LIED géouétbique de certain point dans les coniques.
i. Soit
Ay^ -+■ Bxr 4- C.r' -f-D7-f-E.rH-F=ro
Téquation d'une conique rapportée a des axes quelconques.
Supposons que le coefficient C varie de — 00 à H- 00 et que les cinq autres coefficients soient des fonctions entières algébriques cJonnées de deux quantités a et 65
djr -H ex -!-/= o diX H- ^1 « -+-/ = o ,
it .
( >64 ) !(ont les équations données de deux droites tangentes à la conique-, il s'agît de trouver le lieu géométrique du point qui a pour coordonnées a et |3.
L'équation de condition pour que là première droite soit tangente , est
4C[/£;D — /»A — r/'F] + ^'E^+ e»[D» -^ 4AF] -f./»B' H- 2rf<?[2BF — DE]— 2/^BF -h 2/i?[2AR — BD]= o. {f^oir]es Nouv^elles jinnahs^ t. Il, p* io8.)
On a une équation semblable pour la seconde droite.
Eliminant C, on trouve pour l'équation du lieu cherché
AE'[rfV;-./^/'] DE»r/^,[rf./-^]
A[D»~4AF][eV;-^î/^] D[D^ — 4AF][i?î/r/-e'/rf.]
^'ly/Mf^d^fd,]
2F[2BF~DE]fW,[rf,e— ^^?,] )
% A[2BF - ïy^][dej\^ d,e,p]
2D[2BF — DEl//^,[(?,/— ef,] '^^W.¥dd,[df, — dJ] H-2BEA^,[//.-/rf] -f- 2 F [2 AE — BD] [fed]^f, e, d']
H^2A[2AE-BD]ir.[y;^->.i -i.2D[2AE-^BD];fy;[rf^,^,/,^] I
Lorsque B = o et que D* — 4AF a un facteur commun en a et ]3 avec E^ le degré du lieu s'abaisse; de même si A a un facteur commun en a et P avec D.
Application. Soit
Téquation du lieu devient, après avoir divisé par a,
Les termes du troisième degré peuvent se mettre sous la forme
ainsi il n'y a qu une asymptote réelle (*).
Lieu du centre. *
Ordonnant l'équation (A) par rapport à a, on a (B) Pa*-HQa»-4.Ra-4-S = o;
S = iidd,[de,]^^-h ti[/te,d']P^-^a[ef,^ ej')[df,]p
désignons par a', a^^ ol" les trois racines de l'équation (B) et par x^ y les coordonnées du centre, on a
et l'équation du lieu du centre est
/ a'4-a"\/ a' 4- an/ a" + a*\
La théorie des fonctions symétriques donne
8P»a:^— 8PQx'H-2a:(RP— Q»]+P(QR — S)=ro,
dans laquelle on remplace |3 par y» Ainsi, on obtient une équation du troisième degré, en j: et j 5 ce qu'on pouvait prévoir à priori.
(*) Cas particulier, a, /S, coordonnées du foyer; axe des r directrice; axes rectangulaires.
( i66 ) SUR lE TRIANGLE (NSGRIT ET CIRCONSCRIT;
D*APR£$ Andrews H ART.
1. Lemme. Soient A, B, C, D, M cinq fondions linéaires à deux variables.
AB = CD est Téquation j'^i^^ conique passant par les points d'intersection de A avec C et D ; de B avec C et D.
AB = M* est réqoation d'une conique touchant le$ droites A et B, et la corde de contact est M.
CD = M* est Féquation d'une conique touchant les droites C et D, et il est évident que les trois coniques passent par les mêmes quatre points, et que les quatre points de contact sont sur la même droite M, car une de ces deux équations est la conséquence des deux autres.
2. Soient ABC, abc deux triangles inscrits dans la même conique P.
Si AB et ab touchent la conique Q, alors Aa et BJ touchent une conique X passant par les quatre points I d'intersection de P et Q (lemme I).
Si BC et bc touchent une conique R, passant par les mêmes quatre points, alors B6 et Ce toucheront la conique X.
Et puisque A a et Ce louchent une conique X, il s'ensuit que AC et ac touchent une conique S qui passe par les mêmes quatre points I. (Càyley.)
RILATItN CIRGBLAIIIB DE ttOBIHS.
Soient A, B, C, P quatre points dans un plan,
GD cercle passant par A, 6, C;
a cercle passant par B, C, P ;
j3 cercle passant par A, C, P^
y cercle passant par A, B, P.
Soient A', B', G trois autres points pris posés arbitraidans le même plan ;
û)' cercle passant par A', B', C 5
CL cercle passant par B', G et faisant avec le cercle o>' même angle que a avec co ;
(3' cercle passant par A' et C, et faisant avec le cercle w' même angle que (3 avec w ;
/ cercle passant par A' et B' et faisant avec le cercle w' même angle que y avec &>.
Alors a', j3', / se couperont à un même point P'; et
tù' passe par les trois points A', B', C'^
a' passe par les trois points B', C, P;
(3' passe par les trois points A', C, V\
/ passe par les trois points A', B', P';
de sorte que P et P' se correspondent.
Ainsi étant donnée une figure plane quelconque, on peut tracer une autre correspondante telle, que quatre points de la première figure étant sur un cercle, quatre points de l'autre figure sont aussi sur un cercle.
C'est une cjrclographie analogue à la grammagraphie, autrement dit homographie. On peut aussi imaginer une sphéro graphie.
