Î^OI
donc le lieu du centre est la droite
> fX V
qui est parallèle à la droite fixe menée ci-dessus. Le plan abc a. pour équation
ou bien
û+Xi ^H-fA« c-hv/
Si dans cette équation on fait disparaître les dénominateurs, elle devient du troisième degré en i\ donc le plan abc est osculateur d'une cubique gauche. Pour obtenir les équations de cette courbe, je dérive la dernière équation deux fois par rapport au paramètre /' :
"kx [».y vz
\'^x it?y v'z
{a -h uy "*■ ( A H- li-iY "*" (c + viy "■ ^'
De ces trois équations, on tire
{va — \c)('kb — fA«)
vlib-^liiY
(Ib — ^a)(fAC — vb)
([AC H- v^) (ita — >c)
équation de la cubique gauche qui est évidemment osculée par les plans
Le plan à l'infini est aussi osculateur de la courbe , parce
que les valeurs trouvées de a:, j, z ne contiennent pas le paramètre variable / en diviseur.
Les équations ci-dessus sont simples et symétriques; mais si Ton veut étudier la cubique gauche qui résout la question proposée, il est bien plus simple de faire usage de la représentation analytique de ces courbes, que j'ai donnée dans un Mémoire inséré dans les Annali di Matematica pura e applicata (Roma , i858). Soient a: =o le plan osculateur dans un point de la courbe qu^on prend pour origine ; y = o le plan qui touche la courbe dans ce même point et la coupe à l'infini^ jg = o le plan quicoupe la courbe à l'origine et la touche à l'infini. Les équations de la courbe seront
a, t, c étant des constantes et i le paramètre variable. La droite x = z=^o divise en deux parties égales les cordes de la courbe parallèles au plany = o. La courbe a un grand nombre de propriétés qu'il est bien facile de découvrir à l'aide des équations données ci-devant.
La circonstance que la cubique gauche, «dont nous nous occupons étant osculée par le plan à l'infini constitue pour elle un caractère spécifique qui la distingue de toute autre espèce de courbe du même degré. Si l'on compare les cubiques gauches aux coniques planés, l'espèce particulière de cubique dont il s'agit correspond à la parabole , qui , comme on sait , est touchée par la droite à l'infini. Dans un petit Mémoire qui va être publié dans les Annali di Matcmalica j'ai classifié les cubiques gauches comme il suit (*) :
Premier genre, La courbe a trois asymptotes réelles;
{^) C'est une exposition analytique très-bien faite des belles études de M. Chasles sur les cubiques gauches. J'en ai fait la traduction, que je publierai le plus tôt possible. Tm.
( 2o3.) il n'y a pas de plans osculateurs parallèles ; les plans osculaleurs coupent la surface développable qu'ils enveloppent suivant des coniques qui sont toutes des hyperboles; les centres de ces hyperboles sont sur une ellipse. Le plan de celte ellipse rencontre la cubique en trois points réels et coupent les cônes du second degré qui passent par la cubique suivant des hyperboles.
Second genre. La cubique a une seule asymptote réelle et deux plans osculateurs parallèles entre eux qui coupent la surface développable (dont la courbe est l'arête de rebroussement) suivant deux paraboles-, tous les autres plans osculateurs coupent la même surface suivant des ellipses ou des hyperboles. Les centres de ces coniques sont sur une hyperbole dont le plan est parallèle et équidistant aux deux plans osculateurs parallèles. Une branche de Fhyperbole focale contient les centres des ellipses; l'autre branche contient les centres des hyperboles. Les points de la cubique gauche auxquels correspondent des ellipses sont situés entre les plans osculateurs' parallèles; les points auxquels correspondent des hyperboles sont au dehors. Le plan de Thyperbole locale rencontre la cubicpie gauche dans un seul point réel et coupe les cônes du second degré qui passent par la courbe suivant des ellipses.
Tels sont les seuls cas absolument généraux que peu-» vent présenter les cubiques gauches. Mais il y a à considérer aussi deux cas particuliers, savoir :
1°. La courbe a une seule asymptote réelle à distance finie ; les deux autres sont aussi réelles , mais elles coïncident à rinfini. C'est-à-dire : le plan à l'infini coupe la courbe dans un point et est tangent dans un autre. Les plans osculateurs coupent la développable suivant des hyperboles, à l'exception d'une seule qui est une parabole. Les aulres de ces hyperboles sont sur une autre parabole. Les deux paraboles sont dans un même plan qui coupe les
cônes du second degré passant par la courbe suivant des paraboles.
2?, La courbe a toutes ses asymptotes qui coïncident à l'infini , savoir, elle est osculée par le plan à Imfini* Les plans osculateurs coupent la développable suivant des paraboles.
(TOlr p. 116) ;
Par mm. Paul DE CHAULIAG et Georges PUGENS,
Élèyes du collège Sainte-Marie , à Toulouse.
SABC étant un tétraèdre quelconque, désignons parV
son volume , par a le dièdre dont l'arête est BC , par ^
celui dont l'arête est AS , par A, A', h"^ h!" les hauteurs
du tétraèdre qui partent respectivement des sommets S,
A, B, C5 et enfin par A la perpendiculaire abaissée du
point S sur l'arête BC.
On a
. A__A.BC /i.BC __M\BC
**^''"~ï"^^.BC"'2surf SBG"" 6V '
et de même
. „ h" h"'. AS
d'où l'on tire
sm a . sm p = — ^^^^ • BL . Ab ,
ou bien
BC.AS 36 V^ sina.sinp"" AA'A"A*'' Donc , . . . .
MM. de Chardonnel (deChâlons-sur-Marne), Edouard Mynard, élève du lycée Saint-Louis, donnent la même solution.
(TOlr t. XVHI, p. 117) ;
Pau m. A.-A- TERQUEM,
Ëlève du lycée Saint-Louis.
Solution, Je prends un des plans pour plan des xy\ ^i Tarêle pour axe des x et l'origine au point A. L'équation du premier plan est
soit
celle du second plan. Les équations d'une droite dans lé plan ocy sont
m étant le paramètre variable. Les équations de la droite perpendiculaire située dans le sec;pnd plan sont
l'équation du plan qui passe par ces deux droites est
(i) mx — 7 -f- «(m' H- i) z = o;
la dérivée par rapport à m est
(a) jn H- 7.maz = o;
fliminî^nt m entre (i) et (2), on obtient
2<i2ar'-f- S^a^z^y — az(x^-^jr^) = 0,
et supprimant la solution z = o ,
. x' + 4«2/— r'=o, équation d'un cône ayant son sommet au centre.
L' équation de la normale au plan variable est
m « ( w' -h I ) éliminant m entre ces deux équations , nous aurons
ou, en supprimant le plan j^ = o , on a
C'est aussi un cône rapporté au centre.
Nota. M. L. Brault (élève de l'Institution Barbet), prenant pour plans des coordonnées les plans bissecteurs des deux plans donnés, parvient aux mômes résultats-, au moyen d'une sphère, dont le centre est en  , on transforme le théorème en un autre relatif au triangle sphérique.
. (voir p. 118);
Par mm. Paul DE CHAUUAC et Georges PUGENS, Élèves du collège Sainte-Marie, à Toulouse.
S ABC étant un tétraèdre quelconque, soient /i, h\ h'\ hl" les hauteurs qui partent respectivement des sommets S, A, B, C, et supposons que les deux premières se rencontrent.
Le plan P passant par h et A', est perpendiculaire sur les deux faces ABC , SBC; et, par conséquent, sur l'arête BC ] d'où il suit que cette dernière droite est perpendiculaire sur l'arête SA {*) , droite située dans le plan P.
{*) Deux droites non situées dans le inôme plan sont perpendiculaires Tune sur Tautre , lorsqu'en menant par un point de l'une une parallèle à Tautre, cette troisième droite fait avec la première un angle droit.
( ^o7 \ De plus, h^^ et A'^' étant respectivement perpendiculaires sur les faces SâG, SAB, le sont aussi sur SA, et, par conséquent , cette dernière droite est perpendiculaire à la fois. aux deux plans déterminés par les deux couples de droites
(BC, A"), (BC, /n-, ,
ce qui ne peut avoir Heu qu'autant que ces plans se confondent. Donc, etc.
MM. Emile Françoise (élève du lycée de Caen) et G. V*** ont résolu la question de la même manière.
(TOlr p. 118 ) ;
Pak mm. Paud de CHAULIAC et Maurice DE BOYSSON,
Élèves du collège Sainte-Marie , à Tonlouse.
Le point E étant la projection du sommet A sur le côté BC , si Ton considère la distance DE comme positive 'ou négative , selon qu'en la parcourant à partir du point D, on va ou non dans le sens de B vers G ; on sait qu'on a les
égalités
AB = AD -f-BD +2.BD.DE,
AC'= ad' -h CD* -h a. CD. DE,
d'où l'on tire , après avoir multiplié les deux membres de la première égalité par CD, et ceux de la seconde par BD,
Âb'.CD + Âc'.BD= ÂD'.BC-f-BC.CD.BD.
Donc, etc.
Scolie I, La question précédente peut être généralisée comme il suit :
Le point D étant supposé sur le côté 6C ou sur son prolongement, si Ton considère les distances BD et CD comme positives ou négatives , selon qu'en les parcourant respectivement à partir des points B et C , on va ou non dans le sens de B vers C , on a la relation
Âb\cd'— àc' .BD 4- Â5\bC = BC.CD.BD La démonstration se fait toujours comme précédemment.
Scolie II. Le théorème précédent, qui renferme comme cas particulier la proposition XIV® du 3* livre deLegendre (3® édition de Blanchet), est dû à Stewart (*).
Ces deux scolies sont communiqués par MM. de Chauliac et de Boyssou.
MM. Brault (élève de Tinstitution Barbet), Emile Françoise (élève du lycée de Caen) et G. V*** ont résolu la question de la même manière.
