VI. Remarque. A cause des inégalités (2), (3), on a II

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ce qui est assez curieux.

SOLVnON DE LA ailBSTION 43S

(▼Olrt.XyiI,p.l86;;

Par m. Louis CREMONA.

Professeur à Crémone.

Sur les longueurs OA, OB, OC données dans Fespace, on prend respectivement les points a , & , c ; les rapports Afl, Bi, Ce sont donnés. Trouver : i® l'enveloppe du plan abc ; 2** le lieu du centre de gravite du triangle ahc.

D'après renoncé, les droites OA, OB, OC sont divisées eo parties proportionnelles ou semblablement ^ et a, b^ c sont des points homologues de ces divisions. Si l'on demande Tenveloppe du plan abc , la question est un cas particulier de la suivante :

Trois divisions homograpliiques étant données sur trois droites situées d'une manière quelconque dans Pespace, on demande Fenveloppe du plan de trois points homologues.

On trouve ce problème avec son corrélatif parmi les questions proposées (p. 298) dans Touvrage capital de M. Sieiner : SystematiscKe Entwickelung der jibhdn^ gigkeù geometrischer Gestalten von einander (*). Berlin, i832.

^ La question corrélative est résolue par le théorème suivant de M. Chasles :

Si trois droites données dans l'espace sont les axes de trois faisceaux homograpliiques de plans , le lieu du point commun à trois plans homologues est une cubique gau-che (**) (courbe à double courbure du troisième ordre

{*) On n'a publié que la première partie de cette admirable production; <ïuand l'auteur nou» donnera-t-il les autres? C. C^'^) Locution italienne tràs-expr^sive que nous conservons. Tu.

et de troisième classe) qui a deux de ses points sur chacune des droites données.

De là on tire , par le principe de dualité : .

Si trois droites données dans l'espace sont divisées tomographiquement, Tenveloppe du plan de trois poiots homologues est une surface développable de la troisième classe (et du quatrième ordre) qui a deux de ses plans tangents passant par chaque droite donnée; ou bien, ce qui est la même chose , le plan de trois points homologues est osculateur d'une cubique gauche qui a deux de ses plans osculateurs passant par chaque droite donnée.

Dans le cas particulier qui constitue la question 435 , les divisions homographiques données sont semblables ; donc les points à Tinfini des droites OA, OB, OC sont homologues 5 par conséquent le plan abc enveloppe une surface développable de la troisième classe (et du quatrième ordre) qui a un plan tangent à l'infini 5 ou bien le plan abc est osculateur d'une cubique gauche qui a un plan osculateur à l'infini. Les plans OBC, OCA, OAB, ABC sont osculateurs de la même courbe.

On résout la question avec facilité aussi par le calcul. Posons

OA=a, 0B = ^, OC = c,

Oa=zp, Ob=q, Oc = r^ donc

i étant variable avec p, q^ r; i, fx, v constantes. Cela montre que p^ q^r sont les coordonnées courantes d'une droite fixe rapportée aux axes OA , OB , OC.

Les coordonnées du centre de gravité du triangle ahc sont

^ = |(û + >0> r=5(6 + pO> 2 = -^(c-l-vi);