TOEPLITZ
On sait que si
a toutes ses racines réelles , les équations
ont aussi leurs racines réelles. La dérivée de l'ordre (/i— 2) du premier membre de Téquation ( i ) , égalée à zéro, donne, en ôtant un facteur commun,
La condition de réalité des racines de cette équation est
(n — i)a] — 2/ra,^ o.
Or si l'on a.
y (/z — l)«î — (/î-H2)fla<o,
on aura , à forliori ,
(n — 1 ) fl' — 2 « «2 <^ o ,
et, dans ce cas, Féquation (2) ayant ses racines imagi' naires, Téquation (i) aura au moins un couple déracines imaginaires.
Note du Rédacteur, (n — i)a] — ^na^t est la somme des carrés de la différence des racines. Toute fonction symétrique dont chaque terme ne renferme que des exposants pairs, positifs ou négatifs, fournit un critérium lorsque celle fonction a une valeur négative.
M. Chabirand, élève de l'école préparatoire de Sainte- Barbe , donne la même solution que M. Ijrault.
SIUITIM m U QUISTlWi 4«8
(toir p. 118 ) i
Par un PROFESSEUR.
La question 468 (Bourget, professeur à la Faculté de Clermont) rentre dans Tidentité
A A(A-ii) A(A-^)(A-^) __
quand un des facteurs A — a, A — i, A — c,... devient nul , ce qui doit avoir été remarqué il y a longtemps,
somme des deux premiers termes 5
somme des trois premiers termes
somme des quatre premiers termes ;
(A--fl)(A— ^)(A~c)(A-~-£/) a.h.cd
somme des cinq premiers termes; et ainsi de suite.
(A---fl)(A — ^) / A\ __ (A — fl)(A-^)(A>-c) a.b \ c I a,b,e
(A^a)(A — ^)(At) /a a,b,c
CONGOUIIS DE L'ECOLE POLnEGHNIQUE (1858),
Gompositioi matkématiqae ;
Par m. LioN BRAULT, Élève de Tinstitution Barbet.
x^ y^ z désignant des coordonnées rectangulaires et m un paramètre variable, on demande de déterminer les diverses surfaces que peut représenter Téquation
x*4-(2m'-H i) (^-'-H z*) — i[xy -\- xz -\- yz) = 2m^ — 3/w -h I,
lorsque le paramètre m varie de — oo à -h oo . L'équation proposée peut se metire^sous la forme
Les racines réelles de l'équation (w* — i) = o sont — i
et -h- 1 5 celles de l'équation 2 m' — 3m-hi=:o sont ->
et I.
Cela posé, en désignant par P, Q, R des polynômes du premier degré, et par k une constante, quand on fait varier w de — oo à -h oo , l'équation A prend successivement les formes suivantes :
1°. Pour m = — 00,
y^ -\- z^=: I. ( Cylindre droit de révolution. )
2". m variant de — oo à — i ,
p» 4 Q' 4- R' — /t». ( Ellipsoïdes. )
P» -H Q» = A^ . ( Cylindre elliptique. ) 4®. m variant de — i à H — »
P' + Q' -^ R' = A^ ( Hyperboloïdes à une nappe. ) 5®. Pour m = - 5
P' + Q' — R* = o. (Cône elliptique. ) 6**. TO variant de -f- - à — i ,
P' + Q^ — R' = — X'. (Hyperboloïdes à deux nappes. )
7°. Pour m = I,
P» -t- Q' = o. (Ligne droite. )
8**. m variant de + i à + oo ,
p2 ^ Q2 + R2 — k\ ( Ellipsoïdes. )
9°. Pour w = 4- 00 ,
j' -f- 3*= I . (Cylindre droit de révolution. )
Remarque. La forme de réquation A permet de déterminer facilement, dans chaque cas particulier, un système de plans diamétraux conjugués , quand il en existe ; et de déterminer aussi les systèmes de génératrices rectilignes que peuvent admettre les surfaces considérées.
Note du Rédacteur. Deux quelconques de ces surfaces (A) se coupent suivant une ligne dont la projection sur le plan des ocy est un cercle-, l'enveloppe de toutes ces surfaces est une surface du sixième degré.
Lorsque les dix coefficients de Téquation générale sont
fonctions d'un même paramètre , variant de — oo à -^- « , on ne peut guère déterminer les diverses surfaces, quen ayant recours aux formules de M. Painvin.
ÊoniTMin vm ccrgle touchant des droites
D'aprâs m. ÇAYLEY.
1**. Equations des trois droites
A x-hB X -^C =0, •
A'.rH.B'j^4-C' = o, A"j;4-BV-f-C''=o.
Équation du cercle touchant ces trois droites
V'Aor-f-Br-HC, v/A'x-f-B>-HC\ v/A"^-hB'>-hC"
v/A4-B/, /Â^or-hB'/, v^Â?7Tb^i
VA — Bi, v/a'— B'/, v/a"— B''/
2°. Équations des trois droites
X CCS a-h^sina — /?=:o, \ a?cosp4-rcosp — <7 = o, > axes rectang. j:cos7 -hjr C0S7 — r =: o. /
Ekpiajtion du cercle
sin - (P — 7) \/j: CCS a -h 7 sin a — p
-h sin - (7 — a ) ^x CD» p -i- j ces p — g
