sm - ( a — P ) ^ jc cos 7 4- 7 sm 7 — r = o

Posons

S = sin(p — 7) -t-sin(7— a) + sin(a — p),

ou obdeni pour équation du cercle, sous forme ration-

nelk,

-h[Sa:4-/?(sin p — sin 7)4-7(510 7 — sin a)-f-r{sin a — sin p)]* -f[S/ -h/? (<^osp— 0057)4-7(0037 — €OSa)4-r(cosa— cosp)]' --[/>sin(p — 7) 4-7sin(7 — a)4- rsiii(a — p)p = o.

3^. Équations de quatre droites

A JC4-B y-hC =0, A'x4-B'^4-C'=o, A''j:4-B'>4-C"=o, A'":»:-hB">-hC*=o. ^

Equation de condition pour qu'un cercle touche ces quatre droites :

sjA^ H- B»

A", B", C", Va"'»-!- B"'

SOLUTION Dll PROBLÊME Y

(Toir BuLLETiiff p. S) ;

Par m. Eugène DUPONT,

Élève du lycée Louis^-le-Grand ( classe de M. Bouquet).

Les quatre centres O, O', O", O''' des cercles qui touchent trois côtés d'un triangle ABC étant réunis deuxxà

deux donnent six longueurs. Démontrer que les milieui I, P, K, N, H, M de ces longueurs sont sur la circonférence circonscrite au triangle.

Lemme, Si dans un triangle ÂBC on mène les trois , hauteurs AG , BF , CE dont les pieds sont E , F, G et qui se rencontrent en un point O, et qu'on prenne les milieux H, R, I des distances du point O à chacun des sommets, les points E, F, G, H, K, I sont sur une même circonférence avec les milieux M, N, P des côtés du triangle ABC.

C'est le cercle des six points.

Or, le triangle (yOf'iy a ses côtés respectivement perpendiculaires aux bissectrices des angles du triangle proposé^ car soit CyO'* l'un de ses côtés, cette ligne est bissectrice de l'angle supplémentaire de C AB 5 elle est donc perpendiculaire sur la bissectrice O'^A de Tangle CAB.

Alors les points M,I,P,A, K,N, C,H, B se trouvent, d'après le lemme précédent , sur une même circon* férence qui , passant aux points C, A et B, est la circonférence circonscrite au triangle ABC. c. q. f. d.

(▼otr t. XVI, p. 401 ) ;

Par m. c. SOUILLART,

Ancien élève de TÉcole Normale.

Trouver l'équation du cercle qui coupe à augle droit trois cercles donnés.

1. Je cherche d'abord la relation qui doit exister entre les coefficients des équations de deux cercles pour que ces deux cercles se coupent à angle droit.

Soient

U=rrt(ar'-|-7') -h rkbxz-\-2cyz H- ^z2 = o, U,= a, {.r» -+. j2j 4- 2é>,j:3 -4- 2c, 7Z 4- ^1 z^ =: O

les équations de deux cercles rendus homogènes (en coordonnées rectangulaires).

Le centre du premier cercle a pour coordonnées -,

— -> et si l'on désigne par r son rayon, on a

De même pour le deuxième cercle , les coordonnées du b, d centre sont — ~, J., et si r^ est son rayon, on a

J'exprime que la distance des centres est l'hypoténuse d un triangle rectangle ayant pour côtés de l'angle droit les rayons des deux cercles. Il vient

ce qui donne, en éliminant les rayons,

'•'-Hr;,

e e^ b b, c Ct

a ay a Oi a a^ '

ou bien

^ ae^ — ibby — a^c, + <?«, = o :

c'est la relation cherchée.