CD CD

Maintenant si l'on joint ^d et acd^ on aura

p'=r OpV Ô^V aOp.OL et

atî = oâ 4- 0^ — aOa.OL; d'où

lfè\ôV= Ô^V Ô^ V 2 [Ô^ V OL (0(î — Oa)]. Mais

Op — OarrOB — 0A = AB = 2CD et 2DG = ED. L'égalité précédente devient donc, en tenant compte de

(u6. ) la valeur de OL ,

-t-a5'=OA'+OBVaOD.OE

= OA 4-OB -4-20A.OB = (OA+OB)>=:AB =rap.

Le triangle a J (3 est donc rectangle ,. et (} est sur le cercle décrit sur a (3 comme diamètre. On eu déduit immédiatement le théorème annoncé.

80LDTI0N GlONÉTRlOUE DE LA tl]l8TI0N *Ai

(TOlr p. T7 ) ;

Par m. £. DE J0NQI3IÈRES,

Capitaine de frégate (*).

Lemme I. Les pieds des normales, abaissées d^un point fixe sur une conique, sont sur une hyperbole équi-latère qui passe par le point fixe et par le centre O de la conique , et dont les asymptotes sont parallèles aux axes principaux de cette courbe. (Poncelet, Traité des propriétés projectis^es .)

Corollaire. Si le point P se meut sur une droite L , les hyperboles équilatères correspondantes à ses positions su<^ cessives ont quatre points communs , et forment un fais-ceau. Car, indépendamment du centre O de la conique donnée et des deux points situés à Finfini sur leurs asymp* lûtes parallèles, elles ont encore en commun le point d'intersection de la droite L par le diamètre de la conique conjugué à celui qui est perpendiculaire à cette droite.

(*) Chef d'état-major à bord de la canonnière I ^Éclair, en croisière <lan» h mer Adriatique.

( 26a ) Remarque, Si la conique donnée est tine parabole^ l'une des asymptotes de chacune de ces hyperboles équilatères coïncide avec Taxe focal delà parabole. Donc l'un des quatre points communs à toutes les hyperboles qui forment le faisceau se trouve (à l'infini) sur la parabole elle-même.

Lemme li. Quand un faisceau de coniques passant par quatre points fixes est coupé par une conique fixe y les cordes communes enveloppent une courbe de troisième classe y c'est-à-dire une courbe à laquelle on ne peut mener que trois tangentes par un point quelconque. (Chasles, Cours de la Sorbonne.)

Remarque. Si Ftlii des quatre points communs aux coniques du faisceau se trouve sur la conique fixe, toute droite passant par ce point est tangente au lieu géométrique , qui , abstraction faite de ce point , se réduit ainsi à une conique.

PtLOBLÈME. Quel est le lieu du point de rencontre des normales menées à une conique C par les deux points où, une transi^ersale , mobile autour d'un point S ^ coupe cette conique (*)?

Solution. Il suffit de déterminer combien le lieu cherobé a de points ( réels ou imaginaires) sur utie droite quelconque L*

Poiilr cela ^ supposons qUe , de chaque point de cette droite 9 on abaisse des normales sur la conique. D'après le corollaire du lemme 1 , leurs pieds seront sur une série d'hyperboles équilatères ayant quatre points communs. Donc le JieU cherché possède, sur L, autant de points

{'*) Problème du grand Concours de fcette année, et qu'une solution técehtfe avait mis dans le domaine public. Tm*

(a63 ) que cefi hyperboles et la conique possèdent de corder communes passant par le point donné S. Or ce nombre est trois, d'après le lemme H. Donc la courbe cherchée est du troisième ordre. Cette courbe passe évidemment parles quatre points où les normales abaissées du point S sur la conique donnée rencontrent cette courbe pour Ja seconde fois, et aussi par les centres de courbure des points de contact des tangentes issues du point S. Elle n'a qu'une asymptote réelle, dont la direction est perpendiculaire au diamètre conjugué de celui qui passe par le point S.

Corollaire /. Si la conique donnée est une parabole , le lieu géométrique est une conique , puisque la courbe de troisième classe du lemme II se réduit elle-même, daps ce cas, à une conique [Remarque du lemme II) . On peut dire aussi que , si N est la normale à la parabole menée par le point où cette courbe est rencontrée par la parallèle à l'axe focal issue du point S , tous les points de cotte normale font partie du lieu cherché. En effets tous les diamètres de la parabole peuvent être regardés comme, étant des normales menées par le point de cette courbe ^itué a Tinfini , et par conséquent chaque point de N est un point d'intersection de deux normales relatives à une même transversale issue du point S. Donc la courbe du troisième ordre se réduit alors à une conique, si Ton fait abstraction de cette droite , qui constitue une de ses branches, et qui n'est autre chose que l'asymptote du cas général.

Corollaire II, Si le point S est sur l'un des deux axes principaux de la conique donnée, le lieu se réduit encore à une conique , parce que l'axe , sur lequel le point S se trouve, fait partie de la courbe. Et si le point S est le centre de la conique , celte courbe du troisième ordre se

( 264 ) compose de trois lignes droites , savoir : les deux axes principaux de la conique et la droite située à Tinfini.

Observation, Le théorème n'est pas seulement vrai pour les normales , mais il Test aussi pour des obliques faisant avec les tangentes à la conique un angle constant et dans le même sens de rotation.

Il est d'ailleurs susceptible d'une généralisation plus grande \ car la normale et la tangente sont deux droites conjuguées qui divisent barmoniquement l'angle sous lequel les foyers sont vus du point de contact. Faisant une déformation bomographique de la figure, on a ce théorème;

Étant donnés une conique^ deux points fixes F, F pris dans son intérieur, et un point quelconque S, si l'on mène une transs^ersale S m qui coupe la cQnique aux points m , m' , puis par le point m la droite conjuguée harmonique de la tangente en ce point par rapport aux deux rayons mF, mF', et pareillement pour le point m', fc lieu du point de rencontré de ces deux droites sera une courbe du troisième ordre.

Et l'on a un théorème corrélatif dont Fénoncé , facile à former, prend une forme plus simple si l'on suppose située à l'infini l'une des deux droites qui correspondent corrélativement aux deux points F, F', c'est-à-dire aux foyers réels de la figure primitive (*).

(*) Quelle est la classe de ces courbes? Tu.

(roir pftfe 171) ;

Pa& m. Joseph VIGNE, de Toulon.

Soient BE et BD les bissectrices intérieure et extérieure de Tangle B , ÇF et CG les bissectrices intérieure et extérieure de Tangle C , et soient E , D , F, G les projections respectives du sommet A sur ces droites.

Les deux droites BE et BD sont perpendiculaires l'une sur l'autre ; de plus les angles ADB et AEB étant droits, la figure ADBE est un rectangle : il s'ensuit que le point M de rencontre de DE avec AB est le milieu de cette dernière droite et , en second lieu , que la droite DE est parallèle à BC; car les deux angles MEB, EBC sont tous les deux égaux à l'angle MBE. Par conséquent, la droite DE prolongée passe par le milieu de AC.

De même la figure AFCG étant un rectangle , la droite FG passe par le milieu de AC et elle est parallèle à BC. Elle se confond donc avec DE , c'est-à-dire que les quatre points D, F, E, G sont en ligne droite.

Note. M. Léon Vidal , élève du même lycée (classe de M. Huet) , s'y prend ainsi : Soient O le centre du cercle inscrit et M le centre du cercle ex-inscrit qui touche le côté AB. Les quatre points M, O, A, B sont sur une même circonférence; et, d'après un théorème connu, les projections du point A sur les côtés du triangle inscrit BOM sont sur une droite , donc , etc.

M. Tabbé Poitrasson, en donnant la même solution, rile la Géométrie supérieure^ u" 379, où Ton voit que le

( 266 ) triangle qui a pour sommets les trois centres des cercles ex-inscrits a pour hauteurs les trois bissectrices intérieures.

QUESTIONS

480. Soit Do un cercle, Di une développante de iDo) Da une développante de D^ ^ • . . ^ D„ une développante de D(n-.i). Appelons D« dé\^eloppante du cercle de V ordre n. Cela posé , on propose de démontrer le théorème suivant ; Si une figure plane varie en restant semblable à ellemême, et si trois droites de cette figure ont chacune pour enveloppe une développante de cercle de l'ordre n , toute autre droite de la figure a pour enveloppe une développante de cercle du même ordre. (P. de Lafitte.)

481 . On donne un hyperboloïde à une nappe engendré par la révolution d'une hyperbole équilatère; un cône (jui a son sommet sur cette surface et pour base le cercle de gorge est coupé suivant un cercle par un plan perpendiculaire au cercle de gorge. (O^BôKLEN.)

482. Le centre de la sphère circonscrite à un tétraèdre, le centre de Thyperboloïde ^ passant, par les quatre hauteurs, le centre de gravité du tétraèdre, sont trois points en ligne droi te . ( Joachimsth al . )