SUR UNE LIMITE SUPÉRIEURE

Do nombre des racines commensarables d'une équation ;

Par m. Gaston DE MONTEBELLO,

Élève de Técole des Carmes (classe de M. Gerono).

Si après avoir substitué à x dans le premier membre (l'une équation à coeflScients entiers, /"(or) = o, n nombres consécutifs p,p-t-i,...,/7-f-n — i, on cherclie la plus haute puissance à laquelle n entre comme fadeur dans le produit f(p)f(p H- i).../(p 4- n — i), l'exposant de cette puissance est une limite supérieure du nombre des racines .entières de Téquation proposée.

Supposons, pour fixer les idées, que l'équation admette trois racines entières a, fe , c. On aura identiquement

en substituant dans cette égalité les nombres p, /? -h i,..., p -h n — I , on a

f{p^i) = [p-.a-}-i){p-^b-i-î){p^c-hi)^(p-hi]y

Or chacune des suites de nombres entiers consécutifs Aep — a à p — a-f-w — i, dep — b k p — b -\-n — i, de/? — c k p — c-h/2 — I contient un multiple de n , ce qui montre que le i^roà\x\lf[p)f[p-\'i),.,f(p+n—i] renferme au moins trois fois le facteur n.

Remarquons que tout ce que nous venons de dire sur les racines entières s'applique également aux racines fractionnaires. Car si l'équation admet une racine frac-

(357) lionaire - (« étant premier avec (3), le premier membre est divisible par ((Sof — a) , de sorte que le produit

sera divisible par le produit

(P;7-«)[P(/>-hî)-a]...[p(/? -h 71 -!)—«].

Or les n nombres qui entrent comme facteurs dans ce dernier produit forment une progression arithmétique dont la raison est j3, et si n est premier avec ^, on sait que Tun de ces nombres sera divisible par n. H suffit donc, pour que l'on puisse appliquer la limite que nous avons indiquée au nombre des racines commensurables de Téquation, de prendre n premier avec tous les dénominateurs des racines fractionnaires irréductibles*, et pour cela il suffit de choisir n premier avec le coefficient du premier terme de l'équation qui, comme on sait, est divisible par tous ces dénominateurs.

On conclut des théorèmes précédents que si la substitution de n nombres entiers consécutifs dans f{x) ne donne aucun résultat divisible par n , Téquation

f{x)=zo

n'a aucune racine entière, et même aucune racine commensurable, si n est premier avec le coefficient de la plus haute puissance de Tinconnue.

SIIR LES DIVISEURS GOMNENSURABLES DU SECOND DEfiRfi;

Par m. E. PROUHET.

Soit

Ann, de Mathémàt,, t. XYIll. (Juilltti 1859^ ^7

( 258 ) une équation algébrique. Changeons x en x-hh et décomposons y (x-f- A) en deux parties, Tune P^ renfermant tous les termes de degré pair en x , Tautre Pi , tous les termes de degré impair* Soit enfin Ax 4- B le reste du premier degré auquel on parvient quand on cherche le plus grand commun diviseur de P© et de Pi , A et B étant des fonctions de h. Cela posé, V équation

a autant de dix^iseurs commens arables du second degré qxiil y a de ^valeurs commens urables de h satisfaisant aux deux équations

SGGTItN DU TOR^

Pur an plan tancent à cette snrrace et passant par son centre *,

Par un Professeur de mathématiques spéciales.

Solution géométiique.

Cette section se compose de deux cercles égaux entre eux , égaux à celui que décrit le centre du cercle générateur, et passant par les points de contact du plan avec la surface.

Ce résultat curieux, indiqué pour la première fois par M. Yvon Villarceau ( Comptes rendus de F académie des ScwnceSy 28 août 1848) (*), est irèft-facile à établir par l'analyse, qu'on fasse ou non usage des coordonnées polaires indiquées par M. Yvon Villarceau. Nous allons en

(*) Voir Nout^elles Annales, t. VU, p. 345.

ilonner une déuiouslration géométrique entièremeiil élé-» mentaire.

Prenons pour plan de la figure le plan n^éridieu perpendiculaire au plan tangent donné. Représentons par les

cercles dont CA et C'A' sont les rayons, la sectipu de la surface par ce plan méridien. La perpendiculaire ZZ' à la droite CC en son milieu O sera Taxe de la surface, Soit TT' la trace du plan tangent donné. Rabattons ce plan sur le plan de la figure autour de TT'.

Pour trouver des points de la section cherchée, nous couperons la figure par des plans auxiliaires perpendicU'* laires à l'axe ZZ', Soit DK la trace de l'un de ces plans; élevant par le point F où elle rencontre TT' une perpendiculaire à TT' et décrivant un cercle de O comme centre avec OD comme rayon, les points de rencontre â et â' seront des points de la section rabattue. Le même plan auxiliaire noufi en donnerait deux autres points, qu'il nous est inutile de considérer. Le plan auxiliaire passant par le centre nous donnera de même les quatre points a, a', |3 et jS', situés sur la perpendiculaire élevée par O à TT', et sur les cercles décrits de O comme centre avec OA et OB comme rayons.

{ ^6o) Cela posé, je dis que le point â appartient au cercle décrit sur a|3 comme diamètre, lequel passe d'ailleurs par les points T et T', puisque Ton a

ar'=0A.0B = 0a.0p.

Abaissons en efïet la perpendiculaire CG sur OD; Joignons CD et CT. Les triangles semblables ODR et OCG d'une part, OFR et COT d'autre part, donnent