IV. Soient m, «, 6, c des quantités non nulles telles, que
et a une quantité non nulle telle, que la fonction ba' + c ne soit jamais nulle quand on fait croître xde x^h -j-^'
Posons
Aa, = (c/?i — bn)(cK. — i) ■
'(b(i^-^'-hc)(ba'-he) Sî
a = H-i, Mj, n'est pas une fonction de a: 5 sî
a=— I, la limite n'est pas unique.
Substituant dans A
SOLIITION DE LA OUESTION 423
(TOirt. IX, p.195, SS4);
Par UN ABONNÉ.
On a mesuré les trois côtés a, b^ c d'un triangle rectiligne ABC ; OL^^^y sont les erreurs absolues respectives <|a'on peut commettre sur la mesure des trois côtés a^ b^ c. Evaluer l'influence de ces erreurs sur les angles A, B, C.
Soient «i, ti, Ci les variations des angles A, B, C, lorsque dans le triangle ABC ^
a devient a-h <Ky «3,^2,^2, les variations lorsque b » ^H-p, «3» ^3> ^3» » c » c 4-7.
Les variations des A , B, C lorsque a devient a-^cc-^b devient i + ^ et c devient c -|- ^ , seront
eu négligeant une quantité très-petite par rapport à ces variations.
Calculons ai , &i , Ci .
Si a devient a -♦- a , les côtés i et c restant les mêmes, le triangle ABC deviendra ABC,
«. = CAC = ^', 6. = - CBC=: —5 b a
mais le triangle CC'C donne
donc
sm C tang G
fli = v . ;;t ^1 = -^ 7^>
6 sin C ^ tangC
et , par analogie ,
atangB
Qans ces ifovtïiules, a peut être {jositif oa iwgatif ; on aura demeure
^tangC ^ csinA 6taDgA'
ctaDgB
C tang A ^ AsinB'
d'où (en désignant par A| , Bi , Ci les valeurs qu*il s'agit d'évaluer),
A, =: «, -h fla -H Û3 =
^ 6sin€ ôlangC ctangB'
a tangC <; sin A c tang 6
a tangB /^ tang A a sin B
(^79) L'erreur Ai $ersL la plus graLude possiJ^le si ai , as , a^ sont de même signe , c'eet-à-dire si (3 et y sont de signe contraire à 0C , SA valeur giwolue sera alors
bsin G b tangC c t^og B
Si Ton mesure les côtés à la chaine, Ws plus grandes valeurs de a , |3 , y seront
(2) ; ou
1000 1000 lOOO
Maximum de A. = ( ■,■ .■ ■ H 4 | .
1000 \osmG tangC tangB/
ou
Maximum de A» = ( H ) •
1000 \tangG tangB/
Cette formule met en évidence riooonvéniont qu'il y a à prendre des angles trop petits dans les triangles typographiques , et montre que la forme équilatérale est la plas avants^geuse.
Si Ton suppose que B et C soient égaux à 4^ degrés, qui est la plus petite valeur admise , on aura
Maximum de A| = •
Dans cette formule, Aj représente la longueur de Tare dans un cercle de rayon i ^ si l'on veut exprimer l'erreur en secondes y on aura
~i~.sini"=i3".
Si Ton admet des angles de 3o degrés, on peut conimetlre une erreur de 22 secondes. Si l'on veut connaître la limite de l'erreur commise sur les angles d'un triangle particulier, après avoir calculé les angles on se servira
( 28o ) de la foriuuleî(2t), qui peut être mise sous la forme plus
générale maximum de Aj = ae ( — ^ H î — V
® \taDgC tangB/
Nota, On arrive également aux formules (i), en pre-
nant dans les formules telles que ces A = 7 > la
différentielle totale de 00s A.
SOUITMN U LA QIIESTIOK 470
(TOir, p. 170);
Par m. DECHAllME,
Élève du lyoée Sàint-Louis (classe de M. Briot),
Et m. BANACHIEWICZ,
Élève de l'École Centrale.
Si sur la diagonale d'un rectangle comme corde on décrit un cercle, le lieu des extrémités d'un diamètre parallèle à Fautre diagonale est une hyperbole équilatère.
J'appelle a et i les deux côtés du rectangle 5 je prends a pour axe des x , b pour axe des y.
En appelant a et (3 les coordonnées du centre du cercle, l'équation de ce cercle passant par l'origine est
(1) 2 ax -H 2^^ = 07*4- J*,
le point x-=; a^ y =ih appartient au cercle-, donc
(2) 2afl -f- 2p^ = fl'-+- 6'.
L'équation de la parallèle menée par le centre du cercle est
( 3 ) xh '\-^a=zax -h- bx.
Eliminant (Z et /3 des équations (i), {2), (3), on a le lieu cherché.
( ^8' ) .Or
2(ax — bx)
i{ay — bx)
substituant dans l'équation (3-), et multipliant par 2 [ay — hx) >f faisant les réductions et mettant a* H- i* en facteur, on obtient
(a*4- b^) [y^— -^^'H- ax — bx)=.o\
donc Féquation du lieu est
y^ — .r'-f- ax — by z=i o.
C'est une hyperbole équilatère ayant pour centre le centre du rectangle, et pour asymptotes les parallèles aux bissectrices des axes de coordonnées menées par ce centre.
Cette hyperbole passe évidemment par les quatre sommets du rectangle , car pour a? = o on a
f = o et x=^by et pour x = a on a aussi
X=o et x=^b.
L'équation
y^ — j:^-f- ax -{- by = o
est celle du lieu de rintersectioo du cercle par le diamètre parallèle à la première diagonale.
MM. Eugène Dupont et Ernest Fontaine, élèves du lycée Louis-le-Grand , ont envoyé des solutions du même genre.
Note du Rédacteur. Pourvu que les trois équations soient linéaires en a et |3, le lieu sera une conique, car
( lS2 )
le déterminant est du deuxième degré en x et /, et ce déterminant égalé à zéro donne Téquation du lieu , les axes étant quelconques.
Soient en général les trois équations
û, a -4- ^, P -f- c, = o, «2 a H- Ôa P -f- Ca = O , «3 a -h ^3 P -f- C3 = O ,
entre lesquelles il faut éliminer a et j3.
On prend pour inconnues -> - *, les équations deviennent
flj a -f- ô, p 4- Cj 7 = o ,
pour que ces équations subsistent simultanément , on doit avoir
(fl, èaCs) = o ;
les crochets désignent un déterminant.
