SOLUTION

De la question proposée aa Gonconrs général pour la classe de matbéinatiqttes spéciales en 18S8

(voir p. 189);

Par mm. BURAT et BOS,

Prolesseurs de mathématiques au Vycée de Lilli;.

K étant un nombre donné et a un angle aussi donné, mais compris entre o et 180 degrés^ g, G, h étant des

( =83) inconnues auxiliaires liées entre elles par les relations

(i) G sin g: = *— sin a ,

(2) Gcosg' ==:Ksina + cosa,

on demande les racines réelles de l'équation

(4) /*shi*j: == sm(a? — a).

On donnera à G le même signe quà K.

Pour résoudre cette équation , il faut d'abord remplacer A par sa valeur numérique calculée en fonction de a et de K : aussi nous commencerons par déduire ce coefficient des relations (1), (2), (3).

En ajoutant membre à membre les carrés des deux premières , g dis>parait , et Ton a

G = dz v'sin2a-^(Ksina -Hcosa)^;

G est donc réel , quels que soient a et K , et le radical doit avoir, d'après Ténoncé, le même signe que K.

On peut aisément rendre cette valeur de G calculable par logarithmes : posons , en effet , .

tangY=:'iî

9 éUfiii un angle auxiliaire ^ nous aurons

Gr— *-* /.;«.. ^sy^M^L+l)

r=±:4/sin^a et si Ton pose

cos^y

= rfc sin a i /

. . sin'(a4-y}, 1-^ — . — ^ —

sm^acos^©

tang+ = -7-^ —^

^ * sma cos<p

( 5*84 ) ^ étant un deuxième angle auxiliaire^ on aura

COS\p

et , par suite ,

, sin*a

Kcosij»

La valeur négative de h doit être rejetée, parce quil résulte des conditions de Ténoncé que h est positif. Résolvons maintenant l'équation

hs\ïï*x :=sin(a: — a),

dans laquelle A et a sont des nombres connus. Je remarque d'abord que l'équation ne change pas quand on y remplace x par x +- awTr, n étant un nombre entier positif ou négatif. Il suffit donc de chercher les racines comprises entre o et 2 tt^ quand elles seront connues, on aura toutes les autres en ajoutant aux premières un nombre quelconque de circonférences positives ou négatives.

L'équation proposée s'obtient en éliminant y entre les deux équations suivantes

(5) x=zhsin*jCy

(6) y = sin{x — a);

par suite ses racines sont égales aux abscisses des points d'intersection des courbes que représentent ces équations (5) et (6).

Or l'équation (5) représente une courbe composée d'une infinité de branches situées toutes au-dessus de Taxe des x-^ chacune d'elles comprend un intervalle égal à TT, et son ordonnée maximum , qui est égale à h, répond au milieu de cet intervalle. De plus , aux points où elle touche l'axe des a:, la courbe a avec cet axe un contact du troisième ordre, parce que les trois premières dérivées de sin*a: s'annulent pour x = mi. Il est encore

( 285 ) bon de remarquer que toutes les courbes (5) , qui répondent aux diverses valeurs qu'on peut attribuer à A, s'obtiendront en multipliant par h les ordonnées de la courbe

y = sin^x;

en sorte que pour des valeurs très -petites de ce coeflScient, la courbe rampera en s'élevant très-peu au-dessus de l'axe des x, tandis que , pour des valeurs de h plus grandes, elle s'élèvera rapidement au-dessus de cet axe après avoir eu avec lui un contact très-intime. Enfin ces courbes ont toutes une infinité de points d'inflexion répondant aux mêmes abscisses

caria dérivée seconde, égalée à zéro, donne l'équation

3sin'à;cos^jî — sin*x = o,

qui est indépendante de A, et l'on en tire

tangx =±v^, d'où.

Quant à Téquation (6) , elle représente une sinusoïde ordinaire qui coupe l'axe des x k une distance de l'origine égale à a ; si a varie , cette courbe se transporte parallèlement à elle-même le long de Taxe des x^ sans changer de dimensions.

Dans chaque exemple particulier, on pourra tracer ces deux courbes , et Jeurs points de rencontre feront connaître les racines de l'équation (4). On voit immédiatement sur la figure (*) qu'il y aura toujours entre o et 2 tt

{*) La figure ci-jointe a été construite pour l'exemple numérique rapporté plus loin.

( 286 ) deux points d'intersection , mais qu'il peut toujours y en avoir deux autres pour des valeurs convenables de h et de a. Pour voir dans quel cas cette particularité se présente , nous allons d'abord chercher quelle relation doit exister entre A et a , pour que les courbes ( 5) et (6) soient tangentes.

Si X est Tabscisse du point de contact , H la valeur qu'il faut donner au coefficient h pour que les deux courbes se touchent , on devra avoir les deux équations

(7) . Hsin*X = sin(X — a),

(8) 4 H sin» X cosX = cos (X — a);

j'obtiendrai la relation cherchée en éliminant X entre ces deux équations.

En les divisant membre à membre , on a

tangX=:4tang(X— a), d'où Ton tire

(9) u.ngX=i^^Eïl^i5.

^^^ ^ 2tanga

Cette formule nous montre que le contact des deux courbes n'est- possible que si l'on a

iang'a<^-,

tanga doit donc être plus petit que j ou pluç grand que

— y -, l'angle dont la tangente est j étant égal à

35^ 52' 1 1'\6^ (X devra être compris entçe 0° et 36^ Sa' i i"fi ou bien entre 143*» 7'48",4 et 1 80*^.

Supposons cette condition remplie , et continuons ïé^ limination, on a

i -h tang2 X

(287) et

sin(X-.a) = -,^i^iE^=^. = -

V I ■+- tang^* (X ~ ol) \/i6 H- tang^X

eu portant ces valeurs dans Téquation (7) , on obtient

(iH-tang^X)'

lang3 X v^iG-h tang^X'

le signe du radical sera déterminé par la condition que H soit positif.

Il suffirait maintenant de remplacer tangX par

3±\/9-— 16 tangua 2 tanga

pour obtenir la relation cherchée entre H et a ^ mais cette relation serait compliquée de radicaux qui rendraient la discussion pénible, et il est préférable de conserver Tabscisse du point de contact comme variable auxiliaire.

En considérant d'abord le cas où a est compris entre o et 36^52' ii",6, nous voyons par les formules (9) et (10) qu'il y a pour chaque valeur de a deux points de contact et pour H deux valeurs A' et A'^; il existe donc deux courbes

y = h" sin* X

qui touchent la sinusoïde*, l'équation (9) montre que les abscisses des points de contact sont inférieures à - •, et, de plus, si Ton suppose h' plus petit que h" ^ la courbe

y z=z h' sin'* x touchera la sinusoïde intérieurement, tandis que la courbe

y = h" sin* X

( 288 ) la touchera extérieurement (*). Pour des valeurs de /i comprises entre h' et K\ il y aura trois points de rencontre entre o et tt-, pour toute autre valeur de A, il n'y aura entre les mêoies limites qu^uu seul point d'intersection.

Lorsque à est compris entre i43° 7' 48'S4 et 180 degrés, on obtiendra également deux courbes tangentes à la sinusoïde en attribuant au coefficient h les deux valeurs hl et A"; Tune louchera intérieurement, Fautre extérieurement : seulement les abscisses des points de contact se-

ront comprises entre — et 2 t:, au lieu d'être comprises

entre o et — Pour des valeurs de h comprises entre h' et

h"^ il y aura trois points de rencontre entre tt et 27r, et pour toutes les autres valeurs de A , il n'y aura entre les mêmes limites qu'un seul point d'intersection.

Enfin si a est compris entre 36° Sa'i i"fi et 1 43**7'48'',4» les deux courbes n'auront que deux points d'intersection entre o et 2 7r.

Ces considérations^ géométriques conduisen t à la règle suivante pour reconnaître dans chaque cas le nombre des racines réelles de l'équation

h sin* .T = sin (.r — a).

(*) On voit facilement que si les deux valeurs de X étaient égales, H

5 J5 prendrait la valeur — ^ et qu'alors la courbe aurait avec la sinusoïde un

contact du deuxième ordre , c'est-à-dire qu'elle la couperait au point de contact ; on démontre en outre que si les deux valeurs de tang X sont ioé-

gales, h* est plus petit que — — - et h" est plus grand que -— ^* Comme en

même temps la sinnsoïde s'est déplacée vers là gauche , il résulte nécessairement de la forme et de la disposition des deux courbes que la ooarbe yz=.h' %m*x ne pourra toucher la sinusoïde qu'à l'intérieur, tandis qoeU courbe^ = h" sin* x ne pourra la toucher qu'à l'extérieur. D'autres considérations pourraient conduire à ce résultat, qui est d'ailleurs évident quand on se rend bien compte de la nature des deux courbes.

Si a est compris entre 36°52'ii'',6 et i43°7'48",4» l'équation n'a que deux racines réelles comprises entre o et27r.

Si a est inférieur à 36**52'ii",6 ou supérieur à 143° 7' 48 '',4? on calculera tangX au moyen de la formule (9)^ on obtiendra pour cette quantité deux valeurs qui, portées dans Téquation (10), détermineront deux valeurs de H , A' et h" -, si le coefficient numérique h de l'équation proposée est compris entre ces deux nombre^, cette équation admet quatre racines comprises entre o et 2ïï; dans le cas contraire, elle n'en admet que deux. Lorsque h est égal à A' ou à h"^ deux des quatre racines deviennent égales, et Téquation n'a plus entre o et 2 7r que trois racines distinctes^ dans ce cas particulier, la racine double est fournie par l'équation ^9).

Les considérations géométriques qui précèdent permettent de plus de séparer facilement les racines dans tous les cas 5 par exemple, lorsque h est compris entre A' et h" et que Fangle a est plus petit que 36° Sa' 11 '^6, on voit sur la figure que la première racine est un peu supérieure à a; la deuxième est comprise entre la précédente et -9 la troisième entre - et tt, et la quatrième est uiji peu supérieure à tt -h a.

Ann. de Matkémat., t. XVllI. (Août iS^g.) I9

{ ago )

La figure représente :

i^. La sinusoïde, largement ponctuée-,

a°. La courbe

y =.h sin* x ,

tracée en trait plein \ 3°. Les deux courbes

X = h' sin^jT, ^=.h"suï^Xy

tracées en pointillé ; ces deux courbes touchent la sinusoïde.

Elle permet de voir les contacts des deux courbes

y = h' sin* x , y z=z A"sin*jr

( 291 ) avec la sinusoïde

/ = sin(jc — a),

et les deux premiers points d'intersection de la courbe y =z h sin* .r

avec cette même sinusioïde.

Dans cette figure , on a

et, par suite ,

On rencontre cette équation en astronomie ^ quand oit se propose de déterminer l'orbite d'une planète au moyen de trois observations seulement* Au commencement de ce siècle , Gauss donna la solution de ce problème et appliqua ses formules au calcul des orbites des petites planètes comprises entre Mars et Jupiter, et découvertes depuis 1801. La méthode du célèbre astronome de Gôttingue est exposée dans un ouvrage intitulé : Theoiia motus corporum cœlestium in sectionibus conicis solem amhientium^ auctore Carolo-Friderico Gauss, Hamburgi, 1809, On y trouve l'exemple suivant (p. 167) relatif à la planète Junon, et que Delambre a reproduit dans son Astronomie^ t. II, p. 5^7 :

3,978539 sin*.r = sin(j7— i3°4o'4",i).

Cette équation a quatre racines réelles comprises entre o et 27:5 car les formules (9 ) et (10) donnent dans ce cas

et le coefficient de sin* x est compris entre ces deux nom-

( ^92 ) bres; dès lors ces quatre racines se séparent facilement: la première est voisine de i3®4o'4'')ï et un peu supérieure à cette valeur^ la deuxième est comprise entre i3^4^'4'Sï ®^ 9^ degrés , la troisième entre 90 et 180 degrés; et la quatrième entre 180 degrés et igZ^ 4^* 4"^^-

Ces quatre racines se calculent facilement en appliquant la méthode ordinaire qui sert à la résolution des .équations transcendantes; d'ailleurs Féquation donnée est Tune de celles que M. Joseph Bertrand a résolues dans son Tvmté tV Algèbre (2^ édit., p. 394). Nous y renvoyons le lecteur.

Les quatre racines positive^ inférieures à 36o degrés sont

x^zzz 14.35. 5, J7, = 32. 2.28,

par conséquent toutes les racines réelles de Téquation sont données par les formules

j:r=36oX«'f- 32. 2.28,

X = 36oX «-i-137.27.3g, X =: 36o X « -H 1 93 . 4 • ' 3 ,

dans lesquelles n représente un nombre entier quelconque positif ou négatif.

Note, Dans les équations données par Gauss on n'a

- Gsin'a . , k . . h 1 ^l

pas h = — ; — > mais n = ■ . , (voir p. 107 du ÎAeo- * k Gsm'a ^ i / ^

ria). M. le professeur Dieu a traduit cet ouvrage, mais

ne trouve pas d'éditeur. Tm.

GRAND CONGOVRS DE 1859

(Toiri. XVII, p. 188).

MATHéMATIQUES SPÉCIALES.

Première question.

On donne les trois axes 2 a, ai, ac d'un ellipsoïde, et Ton demande de calculer l'aire de la section faite dans ce corps par un plan mené par le centre perpendiculairement à la droite qui fait avec les trois axes les angles a, |3, y.

On propose en outre de trouver l'équation de la surface conique formée par les perpendiculaires élevées par le centre à tous les plans qui , passant par ce point, déterminent des sections ayant une même aire donnée.

Note, Cette question a été retirée , parce que plusieurs élèves ont déclaré l'avoir faîte.

Dès lors , on a donné la suivante :

Deuxième question.

Par un point donné sur Taxe d'une paraboloïde de révolution on mène une sécante, et par les points où cette sécante coupe la surface , ou mène des normales à la seclion méridienne qui les contient; ces normales se rencontrent en un point donné, dont on demande le lieu.

On examinera si tous les points de la surface obtenue font réellement partie du lieu.

Note, En i858, on a proposé cette question : Par un point fixe donné dans le plan d'une conique passe une sécante mobile -, trouver le lieu géométrique du point d'intersection des deux normales menées à la co-

nique aux deux points où la sécante coupe la conique. Quel est le lieu lorsque le point fixe est un foyer? (Nou^ scelles Annales, t. XVII, p. 262.)

En février iSSg, Alfred Terquem, élève du lycée Saint- Louis, a résolu complètement cette question (t. XVIII, p. 77), et a même eu égard au cas particulier où le point fixe est sur Taxe (voir p. 81, dernière ligne).