by — cxy=[x — aYf x = a, by = ac

point de rebroussement ; la tangente rencontre en einq points consécutifs.

origine point double; la tangente rencontre en quatre points consécutifs. Il existe un point triple à l'infini , au-

{ 35o ) ^ quel la droite à riiifini est seulement tangente*, la droite x-\-b = o touche la courbe au point où elle rencontre Taxe des x, et aussi au point d'inilexion à l'inGni.

1 JL 1

ou bien

(x> -H jri -I- z^y = 27 x^x' «s

\ point double; j:=:o tangente.

jr = o,

Ces six points sont six points de rebroussement. II y a encore quatre autres points doubles isolés, donnés par les équations

xdtiz = o.

SOUITNN DE LA QDESTION 472

(TOlrp. 170):

VàSL M. BfiI.LA€,

Élève da lycée de Caen ( classe de M. Toussaint).

Les hauteurs d'un tétraèdre sont les génératrices d'un raème hyperboloïde à une nappe.

Soient ABCD le tétraèdre, AH,, BH,, CH», DH* les quatre hauteurs de ce tétraèdre.

Par l'arête AB faisons passer un plan perpendiculaire à la face opposée ACD, il contiendra la hauteur BHt; àe

( 35. ) même par les deux autres arêtes AC, ÂD aboutissant au même sommet A je fais passer deux plans perpendiculaires aux faces opposées, ils contiennent les hauteurs CH3 , DH4 : mais ces trois plans se coupent suivant une même droite; donc cette droite rencontre les trois hauteurs BHj, CHs, DH4. Du reste, elle rencontre la quatrième hauteur AHj , puisqu'elle passe par le point A , qui est commun aux trois plans ; il s'ensuit que les quatre hauteurs sont rencontrées par une même di^oite aboutissant au sommet A. On démontrerait de même qu'elles sont rencontrées par trois autres droites partant des sommets BCD. Les quatre hauteurs sont donc rencontrées par quatre droites, dont deux ne sont pas dans le même plan (car si elles étaient dans le même plan , les hauteurs seraient aussi dans le même plan) ; donc ces hauteurs sont situées sur un hyporholoïde, c. q« j. d.

GoROLLAiRlB. Ccci montre que si l'on construit des parallélipipèdes sur les hauteurs prises trois à trois , les centres de ces parallélipipèdes se confondent en un seul point, qui est le centre de l'hyperboloïde.

Note du fiédact^ur. Les projections des trois hauteurs partant de B , €9 B sur le plan BCD, se rencontrent en un même point; la perpendiculaire élevée par ce point au plan BCD rexioontre donc les trois hsiuteurs, et aussi h quatrième à l'infiai; les quatre faces fournissent donc chftcUae uue droite reaçontrant les quatre hauteurs; donc, etc. C'est la démonstration de M. Joachimsthal , et il en déduit que le centre de ITiyperboloïde , le centre de gravité du tétraèdre et le centre de la sphère circonscrite sont sur une même droite.

Uest facile de trouver encore d'autres éléments de Thyperboloïde.