Lemme. n étant entier positif et a > ^ , on a
posons alors
Ami de Maikémat., t. XVlll. (Septembre 1869.) .23
( 354 ) il viont
Posons maintenant
a = i et p = , ^
mais -« > I ; de sorte que « X3.
On a encore
Ainsi cette inégalité subsiste pour toute valeur de ^ plus grande ou moins grande que l'unité, et cesse pour z^\. Faisons
on obtient, en remplaçant z par cette valeur,
(A) /ix^-f-rX^'+Ol^j)'^'
pourvu qu'on n'ait pas x=:y'*.
2. Théorème. La moyenne arithmétique est toujours plus grande que là moyenne géométrique.
Dans l'inégalité (A) faisons
71=1, x=:ay r==*;
on a
Faisant on obtient Faisons on a
a ^ b -\- c^Z sjahc.
a -h b -h c -^ d"^ ^ ^abcd.
3. Théorème. La moyenne géométrique est plus grande que la moyenne harmonique.
D'après le théorème précédent ,
d'où
le membre à droite est la moyenne harmonique ; donc , . . . » Obsen^athn, Les a sont essentiellement des quantités réelles positives.
4. Lorsque ai et a, sont deux imaginaires conjuguées , ]a moyenne arithmétique est moins grandequela mc^enne géométrique , et celle-ci est moindre que la moyenne harmonique.
Observation, Ainsi , les théorèmes précédents ne peuvent s'appliquer qu'aux équations dont les racines sont réelles et positives.
( 356 ) DÉDUCTION SIMPLE DE L EXPRESSION F (x) DE GAUSS^
D*APRKS LE Docteur 2EHFUSS.
Grcnert, t. XXX, p. 44 »• I. L X = lim r 9 I. - = lllïl
posons
. Jo Jo
n OU
Faisons
X=lt\
et lorsque /i est un nombre entier positif,
ut — — •
.fA4-2. .
.fA-h/l-l^
d'où
rff*.)
s: lim
|...fi + /l
= linn
-Hl f*H-2
fA-4-/i —
fi 4-1
fi -1-2
OUESTIONS.
483. Théorème /. D'un poiot B extérieur a une circonférence O on mène deux tangentes BA et BC , on pro<jeite C en D sur le rayon OA , et l'on fait exécuter u»« révolution complète à la figure autour de OA , l'un des rayons des points de contact: il faut démontrer que le vo. lume engendré par le triangle mixtiligne CBA est équi* valent au cane engendré par le triangle 6DA.
484. Théorème II. La même figure étant faite qufe précédemment, et exécutant la même révolution, il faut prouver que le segment spbérique engendré par CDA est équivalent au volume engendré par le triangle CBD,
485. Théorème II L Le voluipe compris entra un cône droit AS A' et deux sphères O et C qui le touchent intérieurement et se touchent elles-mêmes extérieurement, est la moitié du volume compris entre le cône et la sphère (jui passe par les deux sphères de contact.
486. L'aire de la podaire du centre d'une ellipse est une moyenne arithmétique entre les aires des cercles décrits sur les axes comme diamètres. (Voir Nout^elles. Annales y Strebor.)
On obtient aussi cette courbe par la construction des rayons réciproques émis du centre de Tellipse, et Ton peut déterminer sur celte courbe des arcs à différence circulaire. (Nouvelles Annales , Strebor, t. XI, p. i83.)
( Arthur Lasgases. )
487. Sur le tétraèdre. i°. Les quatre hauteurs donnent lieu , prises deux à deux , à six plus courtes distances., parallèles aux six arêtes du tétraèdre.
( 358 ) 2^. Les six plus courtes distances donnent lieu, prises deux à deux, à quinze plus courtes distances, dont douze sont nulles et les trois autres sont parallèles aux trois plus courtes distances des arêtes opposées du tétraèdre.
488. On donne, i^ une conique; 2^ deux tangentes fixes à cette conique ^ 3^ deux points fixes dans le plan de la conique; 4^ une tangente mobile rencontre les deux tangentes fixes en deux points variables formant ayec les points fixes les sommets d'un quadrilatère variable ; les diagonales de ce quadrilatère se coupent suivant des points situés sur une conique passant par les points fixes, et énoncer le théorème correspondant diaprés le principe de dualité.
469. Théorème. Si , généralement , on désigne par a^^, Texpre^ion
«i> = («i-^ P/«)co8/i<ï> -f- (7i-h^£/i)8in/if y
où V» représente un entier quelconque, positif ou négatif, et a, , |3i , y, , 3i des constantes arbitraires indépendantes de 71 , le déterminant
àk,u^
^k,ny ^lt,n-hl9 -
s'évanouira toutes les fois que A\>3, et pour Ar = 3 il conserve la même valeur, quelle que soit celle de n.
T.-A. HiRST.
(r^lr p. 170 ) ;
Pak mm. Adphonse PUJET et Emile FRANÇOISE, Élèves du lycée de Caen (classe de M. Toussaint).
Cerch de neuf points.
Soit le quadrilatère plan A6GD. En prolongeant les
cotés d'après l'énoncé, ou forme les quatre triangles
AEB, CED, AFC, BFD ; ©, O''', O' et O" sont les centres respectifs des circonfé»rences cireonscrîies à ces quatre triangles.
On remarque :
1°. Que ces quatre circonférences se coupent en un même point P.
En effet, considérons ce point comme Tintersection des deux circonférences O et O'^ il suffira de démontrer
( 36o ) que 1^5 quadrilatères EPCD et 6PFD sont inscriptibles, ou que les angles EPC et BPF sont égaux entre eux et à i8o — BOC-, or Le quadrilatère inscrit FPAC donne
FPC = FAC.
De même le quadrilatère inscrit EPAB donne
EPB = EAB = FAC,
FPC = EPB ; d'où nous tirons
FPC + BPC = EPB -h BPC ou bien EPC =x BPF.
Les mêmes quadrilatères inscrits donnent
APF = ECD et APB = CED ; donc
APF -h APB = BPF = ECD -f- CED = i8o — EDC.
2°. Le quadrilatère OO'O^O*^ est inscriptîble, car les angles 0"00'''et 0''0'0'", égaux respectivement à EPB et FPC, sont égaux entre eux, puisque l'on a
EPB = FPC.
Ceci posé, il s'agit de démontrer que les trois droites EO, DO" et CO' se coupent en un même point, et que ce point appartient à la circonférence 00'0''0''^ Or l'angle OEA est le complément de EPA; O'DC celui de ABD: mais le quadrilatère inscrit EPAB donne
