III. De la formule qui donne cosV, on tire I — cosV . V
d'où
•cosV ® 2
tang— = v^ — v/4^*-+- i ^«
On a donc
/v* V r^^ I laiig— ûfj:= 1 >J l\x^ ->^\ X dx.
( 376) Changeons de variable en posant x'^=^ z,
J = - f\/^z^-^fdz.
Celle inlégrale bien connue (arc de parabole) donne
J = [{z /42»4- I -t- J^ l{iz -h v/i^'H- i)]J ,
CERTIFICATS DASTRONOMIB.
Bordeaux.
Épbelve TiiÉORiQUK. — Déjinition des parallaxes pour les planètes :
Parallaxes en : ascension droite, déclinaison, distance zénithale.
Indiquer rapidement les méthodes qui permettent d'obtenir les parallaxes planétaires par voie d'observation astronomique.
KpRKUVB PRATIQUE. — Pendant V éclipse du 3o août igoS,
à Bordeaux, et au moment de la plus grande phase.
les o,93o du diamètre solaire apparent étaient éclipsés (|§ = o,93o).
A ce montent, le diamètre apparent du Soleil était de 3r4i*, 4 ; celui de la Lune était de 3!V i-î", 4.
On demande de calculer avec trois décimales le rapport de la surface solaire apparente éclipsée à la surface solaire apparente totale. (Juillet 1906.)
Caen.
Épreuve théorioue. — On a des Tables donnant les coordonnées géocentriques du Soleil et de Murs à tous leurs passages au méridien de Paris pendant un grand nombre d'années. Montrer comment on peut déterminer la durée des révolutions sidérale et synodique de la planète et vérifier qu'elle satisfait aux deux premières lois de Kepler,
Éphel've pratique. — Lors d'un passage du Soleil au méridien de Paris, l'heure sidérale est H. Calculer, pour cet instant, l'anomalie moyenne du Soleil et sa distance, en rayons terrestres, au centre de la Terre. La Terre étant supposée sphérique, calculer la variation de parallaxe pour JR et (î^ quand on passe des coordonnées géocentriques aux coordonnées locales.
On donne {numériquement) la latitude de Paris, l'heure H, la longitude du périgée, l'inclinaison de récliptique, l'excentricité de l'orbite solaire, la distance moyenne de la Terre au Soleil. (Juillet 1906.)
Grenoble.
Épreuve théorique. — Aberration :
i" Influence sur les coordonnées équaloriales des étoiles. Aberration annuelle. Aberration diurne. Aberration lors du passage au méridien.
2" Influence sur les coordonnées écliptiques des étoiles. Aberration annuelle. Orbite annuelle d'aberration,
Kpreuve pratique. — Calcul de l'anomalie vraie du
Soleil et de sa longitude pour le îS juillet 1906, à midi, temps moyen de Paris.
Calcul de la longitude m,oyenne du Soleil au \^ janvier 1906.
Données numériques :
Au \" janvier i85o, à midi, temps moyen de Paris^ on avait :
lo = 28o°46'42',
TÏJ = lS0"lï' 11",
D 'autre part, la variation de ro, par année tropique, est
Am = i',oi8.
Enfin on a
et
Paris.
(Juillet 1906.)
Éprbuvk thboriqur. — i» Réfraction astronomique, pour les distances zénithales inférieures à 76* :
2" Détermination des ascensions droites avec l'instrument méridien. Corrections des observations.
Eprkuve pratiquk. — Calculer à 1 minute près, en temps moyen astronomique de Paris, l'heure du coucher apparent de la Lune, à Paris, le H juillet 1905.
La Connaissance des Temps fournit les données suivantes :
Latitude de Paris = -f- 48" 5o' 1 1';
Parallaxe horizontale de la Lune = 69';
Réfraction horizontale = 34' ;
Si de plus on désigne à chaque instant par t le temps moyen de Paris, par H V angle horaire géocentrique du centre de la Lune par rapport au méridien de Paris, et par 8 la déclinaison géocentrique du centre de la Lune, on a, au moment du passage supérieur au méridien de Paris à la date indiquée^
enfin, au même montent, la variation de t pour i minute de H e$t de -\- i""!*, \i\ et la variation de 8 pour \ minute de H e$t — ir,94.
On calculera avec quatre décimales.
(Juillel 1905.)
Éprbdvb théoriqub. — 1° Temps sidéral, temps vrai, temps moyen.
Relations entre ces divers temps,
a" Latitude. Détermination de la latitude.
Ëprbuvk PRATigUK. — Mcrcure décrit une orbite elliptique dans laquelle rexcentricité a pour valeur o,!Xo56o, tandis que le demi-grand axe est égal à 0,38710.
Calculer le rayon vecteur et V anomalie vraie de Mercure, sachant que Vanomalie moyenne est de
(Octobre iQoS.)
Poitiers.
Éprbuvb théorique. — Exposer une méthode pour déterminer les éléments d'une planète dont on possède trois observations rapprochées,
Éprbuvb pratique. — Soient à l'époque t, pour une planète ( Vénus) :
Longitude héliocentrique. i65"34'2<)',6
Latitude -+-3"23'36*,9
Log du rayon vecteur T,8569oG.i
et pour la même époque t :
Longitude du Soleil •i8o"4i'4', 37
Log du rayon vecteur T ,99265 1 1 .
Calculer les coordonnées géocentriques de la planète : longitude, latitude, distance à la Terre,
Marseille.
Éprbuvb théorique. — i* Exposer la suite des opéra-
tions géodésiques concernant la mesure d'un arc de méridien.
2" Développer l'expression de Varc de méridieny supposé elliptique, en série ordonnée suivant les puissances croissantes de rercentricité.
3° Indiquer comment on détermine les éléments de l'ellipsoïde terrestre au moyen d'un ensemble de mesures géodésiques.
4" Rappeler comment les géodésiens français ont opéré, à la fin du xviii* siècle y pour obtenir la valeur du quadrant, en vue de l'établissement du système métrique.
Epreuve pratique. — Connaissant l'ascension droite et la déclinaison 8 d'un astre ainsi que l'inclinaison de l'écliptique e, calculer:
1° La longitude X et la latitude 3 de cet astre ;
•2** LcK accroissements \\ et ^^ de la longitude et de la latitude correspondant à l'accroissement ^e de l'inclinaison de récliptique.
Données nutnériques :
a = -2o''38'"i3%63, 8 =44" 56' 38', 9, e = 23«-2;' 5", 17, Ae = -f- lo'jO.
(Juillet 1906.)
Montpellier.
Epreuve théorique. — Sur la Terre supposée sphérique on considère un lieu L ayant pour coordonnées géographiques une longitude X et une latitude 9, et une montagne ayant X' et cp' pour coordonnées de même nature. Le sommet de cette montagne se trouve à une hauteur angulaire Tj au-dessus de l'horizon de L.
A quel jour de l'année l'observateur placé en L voit- il le Soleil se coucher derrière la montagne ?
On indiquera la marche à suivre pour résoudre le problème en supposant :
I** Que l'on possède des Tables donnant les coordonnées urano graphiques du Soleil jour par jour ;
•2" Que Von ne possède aucune Table astronomique et
que Von connaît seulement les éléments du mouvement képlérien du Soleil, nécessaires à la résolution de la question.
On dira quels sont ces éléments.
y a-t-il des conditions de possibilité ?
On montrera que V heure vraie à laquelle le phénomène se produit est indépendante de toute théorie du mouvement du Soleil.
Epreuve phatiqub. — On a, pour la planète Pallas :
T==i689'^-%o6 c = o,'2îo8.
Calculer le temps qui s'écoule depuis le passa f^e de la planète à son périphélie Jusquau moment oà son rayon vecteur est perpendiculaire au grand axe.
Note. — On indiquera les formules à employer avant de commencer le calcul numérique. (Juillet 1906.)
Rennes.
KpRKiîVK THKo.dOL'E. — Corrections de parallaxe. Ellipse de parallaxe annuelle.
Eprelvk PRATiQi'E. — Quelle est V anomalie vraie du Soleil quanti son anomalie excentrique est de 9.00". Evaluer, en jours solaires moyens, r intervalle de temps qui s'est écoulé entre le dernier passage du Soleil au périgée et rinstant considéré.
La durée de l'année est de 36 îJ- *••"•, 24 '^-'i ; l'excentricité de l'orbite solaire est égale à
o,tn676G97.
Toulouse.
(Juillet 1906.)
Épreuve théorique. — I. Le tourillon Ouest d'un cercle méridien est de a" plus haut que le tourillon Est et son azimut compté à partir de la direction Ouest vers le Nord est de p*. Le cercle n'a d'ailleurs pas d'autre erreur.
Chercher s* il peut exister des étoiles, dont l'ascension droite et la déclinaison, déterminées à l'aide de ce cercle, soient indépendantes de ces erreurs.
Trouver leurs distances polaires.
n. On observe une même étoile durant toute une année. On déduit de ces observations un Tableau donnant la longitude apparente de l'étoile aux diverses époques des observations. En supposant que ces longitudes aient été corrigées de toutes les causes d'erreur sauf la parallaxe et l'aberration, on demande :
i" D'indiquer la marche à suivre pour s'assurer que les petites différences de ces longitudes sont bien dues à la parallaxe et à Vaberration ;
2" De trouver dans ces différences la fraction qui provient de la parallaxe et celle qui provient de Vaberration.
Note. — On rappelle que les corrections en longitude de parallaxe et d'aberration sont de la forme
/?sin(Q — X)
cosp
A:cos(0 —X)
cosp
{parallaxe)^ (aberration)^
0 désignant la longitude du Soleil, X » n de ré toile,
^ » la latitude de rétoile.
Épreuve pratique. — Appliquer la méthode des moindres carrés au système suivant :
— 25 ar -+- 59 j^ — 147^ = o, \^x—\\y — 210 = 0,
5 37 — t^y — ïoo = o, 27 37 H- \^y — a565 = o.
Calculer les résidus et l'erreur moyenne.
(Juillet 1906.)
( 383 ) SOLUTIONS DB QUESTIONS PROPOSÉES
Considérons une courbe plane du quatrième ordre avec un seul point double D; on sait que les six points de contact des tangentes menées à la courbe par le point double tombent sur une conique, et les points de contact A, B de cette conique avec ses tangentes issues de D appartiennent à la quar tique.
Cela posé, démontrer que, si Von mène par les deux points A, B une conique arbitraire qui coupera la quartique en six autres points, les droites qui unissent ces points à D coupent ultérieurement la quar tique en six points d'une conique. (V. Retali.)
SOLUTION
Par M. Parrod.
Prenons pour triangle de référence celui dont les sommets sont : le point double D et les points d'intersection des tangentes au point double avec la quartique.
L'équation de la courbe est alors
ax^z -h by^z -f- xy f{xyz) = o.
La cubique des points de contact des tangentes étant
ax^-\~ by^ -\- XV fL = o.
Multiplions la deuxième équation par z et retranchons, il vient
Donc les six points de contact sont situés sur la conique dont on a l'équation. La polaire de l'origine étant z = o, les points A et B sont sur le côté du triangle de référence opposé à D.
L'équation d'une conique quelconque passant par A, B est
/(^^^i-») — -sP = o.
Soient xyz un point d'intersection et x'y'z' le point cor-
respondanl sur la quartique
el l'on a
ax'^ z' ^ b y'^ z' -+- x' y' f{ x\ y\ .5' ) = o, 0(aa7''s'H-6y=»3')-ha7y/(9a:',0y,*') = o,
/(ôa:',ey,5')-yPex'=o.
Supprimons les accents, on a facilement
e f(Xyy,z)—f((ix,^y, 5) = o, /(0:f,Oj^, 5)— ^Pex=o.
Soient
f{x,y, z) = Air»-h B^*-t-G5«-4- Dj^2 -¥■ ^zr -^ ^xy, il vient
e( Ax2-+- B^«-+- Fa?x) — G3*= o.
Éliminons 6, l'équation de la conique passant par les six points est
Ç.\f(x,y, z) — z{\.x -f- Mj^)] = N(Aa7«-h Bj/'>-+- Fa^y).
QUESTIONS
2043. Le limaçon de Pascal, qui a pour équation en coordonnées polaires
p = !/- -4- cosco,
est tel qu'il existe une infinité d'hexagones qui lui sont à la fois inscrits et circonscrits. R. B.
2044. On donne une ellipse inscrite à un triangle ABC et un point O sur cette courbe. Les droites OB, OC interceptent, sur une parallèle à la tangente en O, un segment de grandeur constante lorsque BC est déplacé en restant tangent à l'ellipse.
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