IX^ X I
^^X*^-i- X*-^ l ^^iX^-i- X'^-h l ^ ^ X^ -{- X* -h l
Ceux de la perpendiculaire au plan osculatcur B s'obtiennent en remplaçant x par — x.
On en conclut
I — x^ — âx^
COSV = ; — -.
Si Ton pose on a
COSV = •
Quand X croît de o à + oo, w croîl évidemment de o à 4-00 et cosV décroît tie i à — i. L'angle V croîl donc de o à ^.
La valeur de x pour laquelle V est droit est racine de l'équation
Cette équation a une racine positive et une seule comprise entre o et i.
Eu appliquant trois fois la méthode d'approximation de Newton, en partant de la valeur i , on trouve
Les équations de la droite AB sont
Quand x varie, la droite AB engendre un conoïde
dont on obtient Inéquation en éliminant x entre les deux précédenles, ce qui donne bien
Écrivons que le plan osculateur en A passe par un point donné X, Y, Z de cette surface, nous obtenons Téquation du quatrième degré en x :
(5) 4X»a:*- 8X»x»-4- 4X»Ya7 — Y«= o.
Cette équation ndmet évidemment pour racines les abscisses des points A et B de rencontre de la génératrice passant par le point X, Y, Z avec la courbe.
Ces abscisses sont données par la première des équations (4) :
L'équation (5) se décompose alors ainsi
(2Xx«— 4Xîa7-f-y)(2X^«-Y) = o.
Les quatre racines sont donc : i" celles qui sont fournies par (6) ; 2° celles qui sont racines de l'équation
(7) aXa:»— 4X«ar-+-Y=o.
Les deux racines de Téquation (6) sont réelles
lorsque
XY>o,
ce qui était à prévoir puisque cela a lieu pour tout point de la courbe donnée.
Les deux racines de l'équation (7) sont réelles lorsque
( 375 ) Construisons la parabole cubique
dans le plan des xy, La ligure ci-contre montre que,
par les points de la surface qui se projettent dans la région ombrée, passent quatre plans osculateurs réels et ailleurs deux plans. Or, la parabole cubique est la projection horizontale de la courbe donnée, et Ox est une génératrice de la surface. Par suite, par tous les points de la surface compris entre 0;r et la courbe donnée passent quatre plans osculateurs et par toul autre point deux tels plans.
