CENTRE DE GRAVITÉ DES SURFACES

I. Trapèze. — Si B et 6 désignent les bases du trapèze, son centre de gravité coïncide avec le centre de gravité des masses B -H 6, ft, B H- 6, B, respectivement appliquées aux sommets du trapèze. Ces masses 9C composent en trois, 26, aB et B-f-é, respectivement appliquées aux milieux des deux bases et au point de concours des diagonales. Donc le cenlre de f^ravité du trapèze est sur la droite qui joint les milieux des deux bases.

D'ailleurs, les deux masses 6 et 6 + B, appliquées aux sommets de la base supérieure, ont pour résultante a6 -4- B; les deux masses B et 6 4- B, appliquées aux sommets de la grande base, ont pour résultante 2B-f-6; le centre de gravité du trapèze partage donc la droite qui joint les milieux des deux bases dans le

On verrait, de même, en considérant deux à deux les triangles adjacents à chaque diagonale, que le cenlre de gravité coïncide avec le centre de gravité de deux masses M -\- ib appliquées aux sommets de la petite base et de deux masses 6 -f- 2 B appliquées aux sommets de la grande base et que, par suite, le centre de gravité du trapèze coïncide avec le centre de gravité de trois masses 6, B et 4<'' (<'' étant la longueur de la section moyenne), respectivement appliquées au centre de gravité de ces trois longueurs.

II. Quadrilatère. — Le centre de gravi lé coïncide avec le centre de gravité de quatre masses P, P 4- /?, p^ P-H/?, respectivement appliquées aux quatre sommets A, B, C, D, de sorte que, O désignant le point de concours des diagonales, si l'on porte sur CA une longueur CR = OA et sur DB une longueur DM = 08, le centre de gravité du quadrilatère se confond avec le centre de gravité du triangle BKD et du triangle ACM. Par les milieux I et J de chaque diagonale, AC et DB, menons une parallèle à Tautre, ces deux droites se rencontrent en un point P; le centre de gravité est le point de rencontre des droites JK et MI et, par suite, se confond avec le centre de gravité du triangle PU.

Remarquons encore que le centre de gravité coïncide avec le centre de quatre forces Ph-/? parallèles, appliquées aux quatre sommets du quadrilatère et d'une force — (P -f-/>) appliquée au point O. On peut donc dire que le centre de gravité du quadrilatère se trouve sur la droite qui joint le point de rencontre des diagonales au centre des moyennes distances des quatre sommets et partage cette droite en deux segments soustractifs dans le rapport j.

Soient A, B, C, D les quatre sommets du quadrilatère auxquels nous venons d'appliquer respectivement les forces

Ph./>, ^ = Ph p-p, P-4-/J, p = Ph-^ — jB.

Les deux forces P-|-/>, appliquées en AetB, donnent une résultante, égale à leur somme, appliquée au milieu de AB, qu'on peut remplacer par deux forces égales à P + />, appliquées en O, et au point M' d'intersection des parallèles menées par A et B aux diagonales du quadrilatère; les deux forces — P et — /?, relatives aux sommets B et D, se composent en une force

( 397 ) — (P -h p) appliquée en O; le centre de gravité se confond donc avec celui du triangle CDM' et, par suite, en désignant par M le milieu de CD, il est au tiers de MM' à partir de M.

Ce théorème et le précédent sont de M. Gasparj, Il serait curieux de comparer, au point de vue de la simplicité, par les méthodes de M. Lemoine, les constructions précédentes et celle que l'on donne, dans les traités de Mécanique, pour la recherche du centre de gravité du quadrilatère.

III. Pentagone. — Soit ABCDE un pentagone dans lequel la diagonale B£ détermine le triangle ABE dont le centre de gravité coïncide avec le centre de trois forces p parallèles appliquées en A, B, E et le quadrilatère BCDE dont le centre de gravité coïncide avec le centre de quatre forces P appliquées aux quatre sommets et d'une force — P appliquée au point de concours O des diagonales. On en déduit que, M désignant le milieu de CD et Q le milieu de AO, la droite MQ est parallèle à la droite joignant le centre de gravité du triangle ABE au centre de gravité du pentagone. On a ainsi cinq droites passant par le centre de gravité du pentagone.

On peut aussi procéder de la manière suivante : Soit ABCDE un pentagone que Ton partage en trois triangles AED, ADC, ACB ayant respectivement pour masses nti, m^^ m%^ ces masses étant proportionnelles aux aires des triangles correspondants. On a donc, aux sommets A, B, C, D, E, les masses respectives

/?ll -4- THj -4- 7W.J, /?lj, /WjH-/ltj, /Hj-h/Wj, TWi.

Les deux masses, appliquées en E et C, pourront èlre remplacées par une masse m^-^-m^-^-mz appliquée

(398) en nn point R de CE, tel que

RE aire ABGD CR "" aire ADE '

de sorte que, si par B on mène la parallèle à AC qui rencontre CD en N, si l'on joint NE qui rencontre AD en Q et si l'on prend sur NE, dans le sens NE, une longueur NI = QE, on aura

RE aire ADN NQ lE CR ~" aire ADE "" QE " Ni'

Par suite, le point R est sur la parallèle à CD menée par I.

On verrait de même que les masses, appliquées en B et D, peuvent être remplacées par une masse

appliquée en un point M de BD obtenu en prenant le point d'intersection H de CD et de la parallèle menée par E à AD, en joig^nant HB qui rencontre AC en P, en prenant sur HB, dans le sens HB, une longueur HK = PB et en menant par K la parallèle à DC qui rencontre BD en M.

Il en résulte que le centre de gravité du pentagone coïncide avec le centre de gravité du triangle AMB.