CENTRE DE GRAVITÉ DES VOLUMES

I. Tronc de pyramide, — En parlant d'un sommet de la base supérieure, on peut décomposer le tronc en trois pvramides ayant pour hauteur la hauteur du tronc et pour base respectivement la grande base B, la petite base b et la moyenne proportionnelle entre les deux

bases j3 = y/B6. En répétant cette décomposition pour chacun des trois sommets de la base supérieure et en désignant par a- Faire de la section moyenne

Bh-6-4-20

on est conduit à placer à chaque sommet de la base supérieure une masse 2 3- + 6 et, à chaque sommet de la base inférieure, une masse a» -f- B.

Il en résulte que le centre de gravité du tronc de pyramide se trouve sur la droite qui joint les centres de gravité des deux bases et s'obtient en prenant le centre de gravité de trois masses, égales respectivement aux aires des deux bases et à quatre fois Faire de la section moyenne et appliquées aux centres de gravité de ces aires.

On peut trouver, de la manière suivante, le rapport des distances du centre de gravité aux deux bases.

En décomposant le tronc de pyramide en trois pyramides, ayant respectivement pour baseB, b et 3 = y/B6, on est conduit à placer, aux trois sommets de la base supérieure, des masses

b, 6-1- p, b-^p-hB

et, aux trois sommets de la base inférieure, des masses b^f^^b, B-f-p, B.

Le rapport des distances du centre de gravité à la petite base et à la gninde base est donc égal à

3B-h/?-^2 v/ÏÏ6 B-^'Sb-h'if/bô

Signalons enfin la construction suivante :

Soient A, B, C les sommets de la base supérieure

( 4oo ) auxquels soDt placées les masses

et, dans le même ordre, D, E, F les sommets de la base inférieure auxquels sont appliquées les masses

B-hÔH-p, B-i-p, B.

Si sur EA, dans le sens EÂ, on porte une longueur EM = IA, I étant le point d'intersection des diagonales du trapèze ABED, le centre de gravité du tronc est sur la droite joignant les centres de gravité des deux pyramides MBCD et CDEF.

IL Tronc de prisme triangulaire. — En désignant par a, 6, c les longueurs des trois arêtes, on place, aux extrémités de chacune de ces arêtes et dans chaque base respectivement, les masses

En répétant la décomposition du tronc de prisme en trois pyramides pour deux sommets différents de la base supérieure, on est conduit à placer, aux extrémités de chaque arêle a, 6, c et dans chaque base respectivement, les masses

ûfH-ÔH-c-ha, b -\- c -^ b -{- a, c-hc-hè-ha, a-^ c -h b -h a, a-\- b -h c -h b^ a -h b -h c -h c^

qui se composent deux à deux au milieu des arêtes.

On voit donc que le centre de gravité du tronc de prisme triangulaire se confond avec le centre de gravité de quatre masses égales aux longueurs des arêtes et au triple de leur somme, appliquées respectivement au milieu de chaque arête et au centre de gravité de leur triangle.

( 4oi )

II en résulte que, si G esl le centre de gravité d'un triangle de base et si M est le centre de trois forces parallèles égales aux arêtes et appliquées respectivement aux trois sommets de la base, la parallèle menée par le centre de gravité du tronc de prisme aux arêtes perce le plan de base en un point P, situé au quart de GM à partir de G; le centre de gravité du tronc de prisme se trouve au milieu de la droite qui joint les points P et P relatifs aux deux bases du tronc.

III. Tronc de parallélépipède. — En menant un plan diagonal, on détermine deux troncs de prisme triangulaires dont les bases sont égales. Les volumes des pvramides, dans lesquelles on les décompose, sont donc proportionnels aux longueurs des arêtes a, 6, c, d.

On iiura donc, aux sommets de la section moyenne, par une première décomposition, les masses

et, par une seconde décomposition, les masses

a -+- 6 -H ^/ H- a, a-\-b-\-d-^h->rb-it-c-^-d-\-b^

b -\- c -h d -¥- c^ a-hb-hd-j-d-^b-¥-c~hd-hd.

En additionnant les masses correspondantes, on trouve, pour chaque sommet de la section moyenne,