OCTOBRE

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PARIS

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Les mimuiciit» noa iiMérés ne iont pa* rendu*. (Ce iWcttrU {mr^îi cUjtque mois.)

Rédacteur de service : H. R. Brigard.

Liste des Correspomiants des NOUVELLES ANNALES dans les Tilles où siègent les Facultés des Sciences.

Besançon : M. Et. Delassus. — Bordeaux : M.Paoé. — Caen : M. A. dk Saiwt-Gkrmain. — Clermonl-Ferrand : M. C. Guichard.— Dijon : M. Baire. — Grenoble : M. J. Collet.— Lille : M. Boulanges. — Lyon : M. L. Autonne. —Marseille : M. Sauvagk. — Montpellier : M. E. Pabi^v. —Nancy : M. H. Vogt, — Paris :M. Rapfy.— Poitiers : M. J. Drach. — Rennes : M. Le Roux. — Toulouse : M. Cosserat.

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Tout Auteur d'un Mémoire inséré aux Nouvelles Annales de Mathématiques a droit à un tirage à part gratuit de 25 exemplaires.

Cette mesure n'est pas applicable aux Articles bibliographiques, à ceux qui figurent sous la rubrique Correspondance, aux Enoncés et aux Solutions de questions proposées,

La Rédaction.

SUR LA GÈOiVÉTRIl DE DIRECTHM BANS L'ESPACE:

Par m. R. BRIGARD.

1. J'ai montré dans un précédent article (*) comment la géométrie de direction dans le plan se rattache naturellement à la géométrie de l'espace. En particulier, les transformations par semi-droites réciproques de Laguerre dérivent des transformations homographiques involutives, qui changent en luimême un cône du second ordre, ou bien, en modifiant légèrement le point de vue, des transformations involutives de Tespace qui n'altèrent pas les longueurs d'une figure (ces opérations sont la sjmétrie par rapport à un point, par rapport à une droite ou par rapport à un plan).

On peut de même rattacher les transformations par semi-plans réciproques de l'espace, auxquelles • Laguerre a consacré une courte Note (2), à certaines transformations de l'espace à quatre dimensions. Je me propose, dans le présent travail, de développer cette indication que j'ai donnée à la fin de mon premier article.

2. Je rappellerai d'abord quelques définitions et propositions relatives à la géométrie de direction.

Une surface (qui n'est pas à un seul côté) partage l'espace en deux régions, et l'on peut donner arbitrai-

(^) Nouvelles Annales de Mathématiques, 1906, p. iSg. (') Comptes rendus, 1881; Œuvres, t. H, p. 604.

Ann. de Mathémat,, 4» série, t. VI. (Octobre 1906.) 28

(434 ) remenl à Tune de ces régions le nom de région posiiive, à l'autre le nom de région négative (*); on désignera sous le nom de semi-surface une surface ainsi définie.

Par exemple un plsm porte deux semi-plans que Ton peut appeler opposés el que l'on doit regarder comme deux semi-surfaces distinctes. De même une sphère porte deux semi-sphères opposées.

Pour que deux semi-surfaces se touchent en un point, il faut non seulement qu'elles aient même plan tangent en ce point, mais que les régions positives par rapport aux deux semi-surfaces soient les mêmes dans le voisinage de ce point. De là résultent immédiatement les propositions suivantes :

On ne peut mener à une semi-sphère qu'un semiplan parallèle à un semi-plan donné; il existe une semi-sphère et une seule touchant quatre semi-plans donnés ; il existe un semi-cône de révolution et un seul touchant trois semi-plans donnés ; il existe une semi-sphère et une seule inscrite à un semi-cône de révolution donné et tangente à un semi-plan donné.

Ce qui précède est extrait presque textuellement de la Note de Laguerre. Je ferai encore les conventions suivantes : la distance d'un point à un semi-plan sera considérée comme positive si le point est dans la région positive par rapport au semi-plan, et comme négative dans le cas contraire; le rayon d'une semisphère sera considéré comme positif si la région positive par rapport à cette semi-sphère en contient le centre, et comme négatif dans le cas contraire.

(*) Laguerre emploie les mots de région extérieure, région inté' rieure; cette terminologie peut donner lieu ù des confusions.

(435) On voitiramédiateinent que ta condition nécessaire et suffisante pour qu^un semi^ptan et une semisphère soient tangents est que la distance au semiplan du centre de la semi-sphère soit égale en grandeur et en signe au rayon de la semi-sphère,

3. Représentation dans l'étendue (*) des semiplans et des semi-sphères, — Considérons un plan réel, représenté en coordonnées cartésiennes rectangulaires par Téquation

(1) Ix-^r^y-^liz-hi = o,

OÙ Ç, Y), ^ sont les coefficients. Le plan (i) porte deux semi-plans. Je dirai que le premier a pour coordonnées

5, ^, î, ^/Fï^n^P, ■ et le second

A.insi à tout système de nombres Ç, 7), s? "^î satisfaisant à la relation

(2) 5tH.,j«H.Ç«^«^o,

correspond un semi-plan (P) bien déterminé.

Étant donné un semi-plan (P) de coordonnées Ç, Yi, ÎJ, T, nous conviendrons de prendre pour région positive relative au semi-plan la région des points ^iXj ^, tels que l'expression

(') J'emploierai, pour parler de Pespacé à quatre dimensions, le moi d'étendue, introduit par M. Jouiïret dans son Traité élémentaire de Géométrie à quatre dimensions (Paris, Gauthicr- Villai*s, 1904).

( 436) soit positive. En vertu de cette convention, et de celle qui a été faite plus haut relativement au signe de la distance d^un point à un semi-plan, l'expression précédente représente en grandeur et en signe la distance au semi-plan (P) du point x,y^ z.

Soient maintenant X, ^l, v les coordonnées du centre d'une semi-sphère (S), p son rayon (positif ou négatif). Pour que le semi-plan (P) et la semi-sphère (S) soient tangents, il faut et il suffit que Ton ait la relation

H + t^Tj + Vg + I ^ =P.

OU

(3) X{-i-p.7i -+-vÇ — px-4-i =o.

Les relations (2) et (3) peuvent être interprétées dans l'étendue.

La relation (2), si Ton considère Ç, tj, ÎJ, t comme coordonnées cartésiennes d'un point de l'étendue, représente un hypercône du second degré [H],

Ainsi, à tout semi-plan (P) correspond un point m de l'hypercône [H]. Je dirai que ta est le point représentatif du semi-plan.

Considérons en second lieu l'équation

XrF-4- fJl^-hV5 — pT -Kl = 0;

elle représente un espace linéaire qui coupe Thypercône [H] suivant une quadrique (S). Je dirai que cet espace et cette quadrique sont représentatifs de la sphère (S).

Ainsi les points de l'hypercône [H] sont représentatifs des divers semi-plans de l'espace; les quadriques tracées sur cet hypercône sont représentatives des diverses semi-sphères.

( 437 ) L'équation (3) admet dès lors cette interprétation immédiate :

Pour qu^ un semi-plan touche une semi-sphère y il faut et il suffit que le point représentatif du premier soit sur la quadrique représentative de la seconde.

Faisons encore les remarques évidentes que voici :

Les deux semi-plans portés par le plan de V infini ont leurs points représentatifs confondus au sommet O de [H].

Des semi-plans parallèles ont leurs points représentatifs sur une même génératrice de [H]. La correspondance entre les semi-points et les plans est. homo graphique .

Les divers semi-plans tangents à un même semicône de révolution (T) ont leurs points représentatifs distribués sur une même conique C tracée sur [H]. Réciproquement, à toute conique tracée sur [H] correspond un semi-cône de révolution. La correspondance entre un semi-plan mobile qui enveloppe (T) et son point représentatif qui décrit C est homographique.

La première partie de ce dernier énoncé résulte de ce que les semi-plans en question sont tangents à une infinité de sphères. Leurs points représentatifs appartiennent donc à une infinité d'espaces linéaires et par conséquent à un plan. Ils sont donc répartis sur l'intersection de ce plan et de [H], c'est-à-dire sur une conique.

Quant à la seconde partie, elle résulte immédiatement de ce que la correspondance entre le point et le semi-plan est univoque.

( 438 ) 4. Transformations homo graphiques, involutives de Vhypercône [H] en lui-même. — Les transformations homographiques de Pélendue sont en nombre oo^^ . Un hypercône du second degré dépendant de i3 paramètres, celles de ces transformations qui changent en lui-même Thypercône [H] sont au nombre de 00^*-*' = 00**. A chacune de ces transformations correspond une transformation de contact de l'espace qui change les semi-plans en semi-plans et les semi-sphères en semi-sphères. Je dirai plus loin un mol de ces transformations générales. Nous ferons ici une étude approfondie de celles qui présentent un caractère involutif.

Toute transformation involutive de l'étendue appartient, comme on le sait et comme il est aisé de le démontrer, à Tun des deux types suivants :

I" Uhomologie centrale in\folutive, définie par un point c, le centre de Thomologie et un espace linéaire [E], t espace-ba^e de Thomologie ; m étant un point quelconque de l'étendue, l'homologie centrale involutive lui fait correspondre le point m' construit de la façon suivante : On joint le point m au centre c; la droite cm, rencontre [E] eu un point |jl, et l'on construit le point m\ conjugué harmonique de m par rapport au segment C[x.

a° Uhomologie axiale involutive^ définie par une droite D et un plan (P) qui sont respectivement la droite-axe et \^ plan-axe de l'homologie. Au point m rhomologie axiale involutive fait correspondre le point ml obtenu de la façon suivante : On construit la droite unique passant par le point m et qui rencontre D et (P) (*), respectivement aux points |jl et |jl'. Le

( ' ) Cette droite est l'intersection du plan déterminé par m et D et de l'espace déterminé par w et (P).

(439) point m' est le conjugué harmonique de m par rapport au segment {xp.'.

Pour qu'une transformation de la première ou de la seconde espèce transforme en lui-même Thypercône [H], il faut que le sommet de cet liypercône soit un point double de la transformation. Or les points doubles de la transformation sont, dans le cas de Thomologie centrale, le centre et tous les points dePespace-base ; dans le cas de Thomologie axiale, tous les points de la droite-axe et tous les points du plan-axe. On se trouve ainsi en présence de quatre cas possibles, dont Texamen conduit aisément aux conclusions suivantes :

Il existe quatre espèces de transformations homographiques involutives, qui transforment en lui-même un hypercône du second degré [H], Ce sont respectivement :

a. Une komologie centrale involutive, dont le centre est le sommet de Thypercône, l'espace-base étant quelconque ;

6. Une homologie centrale involutive, dont le centre est un point quelconque de l'étendue, et l'espace-base, l'espace polaire de ce point par rapport à l'hypcrcône ;

c. Une homologie axiale involutive, dont la droiteaxe est une droite quelconque de l'étendue, et dont le plan-axe est le plan conjugué de cette droite par rapport à l'hypercône ;

d. Une homologie axiale ins^olutive, dont le planaxe est un plan quelconque de Télendue, et la droiteaxe, la droite conjuguée de ce plan par rapport à l'hypercône (*).

(*) Le lecteur, non familiarisé avec les conceptions de la géomé-

Dans retendue, un point et un espace dépendent chacun de quatre paramètres, une droite et un plan dépendent chacun de six paramètres {*). On en conclut que les transformations (a) et (b) dépendent de quatre paramètres et les transformations (c) et (d) de six paramètres.

S. Transformations par semi-plans réciproques, — Les quatre transformations (a), (6), (c), (d), de rhypercône [H] en lui-même sont représentatives de quatre transformations de l'espace, associant un semiplan à un semi-plan, et qui seront dites transforma^ tions par semi-plans réciproques. Je les appellerai respectivement (a), (p), (y), (8).

trie à quatre dimensions, comprendra facilement, je pense, le sens des expressions employées dans le texte, sans que de longues explications soient nécessaires : Étant donnée une hyperquadrique, représentée par Téquation homogène du second degré à cinq variables

f{x,y, z, t, M)=so,

Vespace polaire du point x^, y^y z^t t^^ u^ par rapport à l'hyperquadrique est l'espace ayant pour équation

Si un point décrit une droite, son espace polaire tourne autour d'un plan qui est le plan conjugué de la droite par rapport à l'hyperquadrique. De même, si un point décrit un plan, etc.

Si rhyperquadrique se réduit à un hypercône, l'espace polaire d'un point quelconque, le plan conjugué d'une droite quelconque, la droite conjuguée d'un plan quelconque contiennent le sommet de rhypercône.

Les points et leurs espaces polaires, les droites et les plans conjugués donnent lieu à des théorèmes que Ton établit aisément en se guidant sur les théorèmes analogues et bien connus de la géométrie plane et de la géométrie de l'espace.

(*) En eiïet, une droite est définie par les deux points où elle rencontre deux espaces donnés (3-1-3 = 6 paramètres); un plan est corrélatif d'une droite et dépend du même nombre de paramètres.

Toutes ces transformations jouissent d'une même propriété : à des semi-plans tangents à une même semi-sphère, elles font correspondre des semi-plans tangents à une même semi-sphère. Autrement dit, elles changent les semi-sphères en semi^sphères. Cela résulte immédiatement de ce que les transformations (a), (6), (c), (rf), étant homographiques, changent une quadrique tracée sur [H] en une autre quadrique.

Il faut maintenant chercher à définir (a), (p), (y), (8), en restant dans l'espace ordinaire. C'est ce que je vais faire successivement pour chacune de ces transformations.

6. Transformation (a). — Dans la transformation (a), deux points correspondants sont sur une même génératrice de [H], Donc, dans la transformation (a), deux semi-plans réciproques sont parallèles.

En second lieu, il existe, dans la transformation (a), une infinité de points qui se correspondent à euxmêmes : ce sont les points de la quadrique (So), intersection de [H] et de l'espace-base de l'homologie. Il existe donc dans la transformation (a) une semisphère (So) quî se correspond à elle-même.

Soient enfin p et/?' deux points de [H], se correspondant dans la transformation (a), po le point oixpp' rencontre l'espace-base de l'homologie, c'est-à-dire la quadrique (So). Si O est le sommet de [H], les points p ei p' divisent harmoniquement le segment O p^. On peut donc énoncer le résultat suivant, en tenant compte des deux remarques faites à la fin du n® 3 : Soient (II) et (n') deux semi-plans réciproques dans la transformation (a), (IIq), le semi-plan, parallèle à (II) et à (II'), qui touche la semi-sphère (So); les plans (II) et (II') sont équidistants du plan (IIo).

En raisonnant comme dans mon premier article (p. 167), on reconnaît que la transformation (a) n'est autre chose que la combinaison d'une transformation parallèle et d'une symétrie par rapport à un point : étant donné un semi-plan (II), on construit le plan (II<), parallèle à (II), situé à une distance donnée et d'un côté donné de ce semi-plan, puis le semi-plan (II'), symétrique de (IIi) par rapport à un point fixe (o et orienté comme le semi-plan (II).

7. Transformation (P). — Dans la transformation (6), deux points correspondants p et p' de l'hypercône sont en ligne droite avec le centre de l'homologie. Si donc on désigne par (Ç, 7^, 2^, t), (Ç'j V> 5', '^), ($01 "^0) so> '^o) les coordonnées respectives des points />, p\ po, on peut trouver deux nombres X et [jl tels que Ton ait les relations