X -h [ji

Mais les trois premières et la cinquième de ces relations peuvent s'interpréter ainsi : les trois plans ayant pour équations dans l'espace ordinaire

passent par une même droite. Donc :

Deux semi-plans (II) et (II'), réciproques dans la transformation (p), se coupent suivant une droite appartenant à un plan fixe (Ho).

Soient en outre sur [H] deux points quelconques p et Pi, et les deux points p' et p\ qui leur correspondent respectivement dans la transformation (6). Les quatre points j9, P\^p'ip\ sont dans un même plan, puisque les droites pp* et p\p\ sont concourantes. Les semi-plans concourants de Tespace (II), (IIi), (n'), (nj) sont donc tangents à un même semi-cône de révolution (n® 4).

L^analyse précédente permet d'énoncer le résultat suivant :

Une transformation (P) est définie par un plan fixe (Ilo) et par un couple donné de semi-plans réciproques (II) et (II'), se coupant suivant une droite du plan (Do). Si {U^) est un semi-plan quelconque, on obtiendra comme il suit son semi-plan réciproque : on construira le semi-cône de révolution tangent à (U), (II') et (IIi), et par la droite commune à (IIi) et à (Do) o/i mènera le second semi-plan tangent au semi-cône. Ce sera le semiplan (D') cherché.

On voit bien qu'une transformation (p) dépend de quatre paramètres.

La transformation (P) est la seule qu'ait définie Laguerre dans la Note rappelée plus haut. Elle fait l'objet d'une élude approfondie dans la Théorie des surfaces de M. Darboux (t. I, p. aSi et suiv.).

8. Transformation (y). — Les points de l'hypercône [H] qui se correspondent à eux-mêmes dans l'homologie axiale involutive (c) sont le sommet O de cet hypercône et les deux points />| et/?2 où la droiteaxe de cette homologie le rencontre. Soient maintenant p et />' deux points de [H], se correspondant

dans la même transformalion. Puisque les droites pp' et p\p2 se rencontrent, les quatre points /?, /?', Pi^, p^ sont dans un même plan et appartiennent à la conique C, intersection de ce plan et de [H]. Soit en outre m le point dMntersection du même plan et du plan-axe de l'homologie (c), plan qui, on se le rappelle, est le plan conjugué par rapport à [H] de la droile-axe /?i/?2- Le point m est le pôle àep^p^ par rapport à la conique C (*); mais le point m appartient à la droite />/>', puisque cette droite doit rencontrer le plan-axe de l'homologie. Par conséquent, les points p et p' sont conjugués harmoniques sur la conique C par rapport aux points

Aux points/?, />',/?,, />a correspondent quatre semiplans tangents à un même semi-cône de révolution, et les deux premiers sont conjugués harmoniques par rapport aux deux derniers. Nous pouvons donc formuler les conclusions suivantes :

La transformation (y) est définie par deux semiplans (n,) et (II2) qui se correspondent à euxmêmes; ce sont les semi-plans doubles de la transformation. Pour avoir le semi-plan réciproque d'un semi-plan (U), on procédera de la façon suivante : on construira le semi-cône de révolution tangent à (II), (II,) et (U^)^ puis le semi-plan (II'), tangent à ce semi-cône et conjugué harmonique de (n) par rapport à (III) et (II2). (Il') est le semi-plan cherché.

( ») En vertu de ce théorème : Si dans V étendue un plan tourne autour d'une droite, le pôle de cette droite par rapport à la conique d'intersection du plan et d'une hyperquadrique fixe décrit le plan conjugué de la droite par rapport à l'hyperquadrique.

On peut dire encore que le plan qui contient les génératrices de contact des plans (II) et (II') contient aussi la droite commune aux plans (IIi) et (II2).

La transformation (y), définie par deux semi-plans arbitraires, dépend de six paramètres.

9. Transformation (S). — Les points de l'hypercône [H] qui se correspondent à eux-mêmes dans rhomologie axiale involutive {d) sont le sommet O et tous les points de la conique C, intersection de Thypercône et du plan-base de Thomologie.

Soient p et p' deux points correspondants quelconques dans rhomologie {d). Ces deux points et le plan de la conique C sont dans un même espace linéaire [E], puisque la droite pp' rencontre le plan dont il s^agil. Autrement dit, les deux points py p' et la conique G appartiennent à une même quadrique (S), intersection de [H] et de [E]. Soit maintenant m le point d'intersection de [E] et de la droite-axe de l'homologie. Le point m est sur la droite /y>', puisque cette droite doit rencontrer la droite-axe; d*autre part, le point m est le pôle par rapport à (S) du plan de la conique C (*). Ainsi la droite pp' passe par le pôle du plan de la conique C par rapport à la quadrique (S).

On peut dire aussi que, si D est une conique quelconque tracée sur (S) et passant par/> et /?', les deux points p etp' sont conjugués harmoniques, sur D, par rapport aux deux points communs à C et à D.

Interprétons ces résultats dans l'espace : à la conique C correspond un semi-cône de révolution (F);

(•) En vertu de ce théorème : Si un espace linéaire tourne autour d'un plan, son pôle par rapport à une hyperquadrique décrit la droite conjuguée du plan par rapport à cette hyperquadrique.

( 446 ) si (n) et (n') sont deux semi-plans réciproques dans la transformation (8), il existe une semi-sphère (S) tangente à (U), (n') et inscrite au semi-cône (F). Enfin, si l'on imagine un semi-cône de révolution (A) circonscrit à (S) et tangent à (II) et à (II'), ces deux semiplans sont, relativement au semi-cône (A), conjugués harmoniques par rapport aux semi-plans tangents communs à (F) et à (A).

On en conclut que (II) et (II') se coupent sur le plan du cercle de contact de (F) et de (S), et l'on parvient au résultat suivant :

La transformation (8) est définie par un semicône de révolution fixe (F). Pour construire le semi-plan réciproque d*un semi-plan donné (II), on construira la semi-sphère (S) inscrite à (F) et tangente à (II); puis, par la droite commune à (II) et au plan du cercle de contact de (F) et de (S), on mènera le second semi-plan tangent à (S). C^est le semi-plan cherché (II').

On voit aussi que les points de contact de (II) et de (II') sont alignés sur le sommet de (F).

La transformation (8), définie par un semi-cône de révolution, dépend de six paramètres.

10. Autre point de vue. — Opérons sur Fhjrpercône [H] une transformation par polaires réciproques^ de manière à transformer cet hjpercône dans la sphère imaginaire de l'infini, dont Féquation tangenlielle est

M*-4-p*-h tv*-+- A»-h A:* = o.

Nous pourrons dire que toutes les transformations par semi-plans réciproques représentent dans l'espace les transformations homo graphiques involutives de

( 447 ) V étendue, qui conservent la sphère imaginaire de Vinfini.

Je désignerai ces transformations, corrélatives des transformations (a), (6), (c), (rf), respectivement par (a'), (6'), ({/), (ûP). Il est facile de les définir directement. Ainsi la transformation (a) est une homologie centrale involutive dont le centre est le sommet de rhypercône [H]; (a') est donc aussi une homologie centrale involutive, ayant pour espace-base l'espace de l'infini, c'est-à-dire une symétrie par rapport à un point, La transformation (6) est une homologie centrale involutive, dont l'espace-base est l'espace polaire du centre de l'homologie par rapport à [H]; (6') est donc une homologie centrale involutive, dont le centre est rejeté à l'infini perpendiculairement à l'espace-base, c'est-à-dire une symétrie par rapport à un espace linéaire. La transformation (c) est une homologie axiale involutive, dont le plan-axe est le plan polaire de la droite-axe par rapport à [H] ; (c') est donc une homologie axiale involutive, dont la droite-axe est rejetée à l'infini perpendiculairement au plan-axe, c'est-à-dire une symétrie par rapport à un plan. Enfin, la transformation {d') est une symétrie par rapport à une droite.

Les quatre transformations (a'), (6'), (c'), {d!) sont les similitudes involutives de Tétendue. On voit donc, en résumé, que :

Les transformations (a), (6), (c), {d) peuvent être considérées comme représentant dans V espace les similitudes involutives de V étendue {c'est-à-dire les opérations qui transjorment une figure en une figure semblable^ et qui, deux fois répétées, ramènent la figure en coïncidence avec elle-même).

(448 ) Les transformations (a), (6), (c), (rf) correspondent aux symétries de l'étendue, respectivement par rapport à un point, à un espace linéaire, à un plan et à une droite.

Ainsi que je l'ai rappelé à la fin de mon premier article, M. Butin avait déjà rattaché la transformation (6) à la symétrie par rapport à un espace linéaire ( * ).

On voit que, plus généralement, les similitudes de rétendue font connaître les transformations de l'espace (non involutives en général) qui associent un semiplan à un semi-plan et une semi-sphère à une semisphère. La transformation la plus générale de celte nature dépend, comme je Tai dit plus haut, de onze paramètres.

Le groupe ainsi constitué pourrait donner lieu à des recherches d'un certain intérêt : on chercherait, par exemple, à définir le sous-groupe des transformations (à dix paramètres) qui correspondent aux déplacements dans l'étendue; on définirait aussi les sousgroupes finis ou non qui correspondent aux sousgroupes de déplacements (groupes de rotations autour de droites ou de plans concourants, groupe des polyèdres réguliers de l'étendue). Je laisserai complètement de côté les questions de cette nature.

11. Une transformation par semi-plans réciproques étant une transformation de contact, il est important de résoudre le problème suivant :

Construire l'élément de contact correspondant à un élément de contact donné. Autrement dit, soient {Wj un semi-plan^ (II') le semi-plan réciproque dans

{}) Bulletin des Sciences mathématiques, 1906, p. ig.

Vune des transformations (a), (P), (y), (8). On donne le point [x oà (El) touche une surface donnée. Construire le point [jl' où le plan (II') touche la surface réciproque de la première.

J'élablirai, en premier lieu, une proposition qui s^applique à chacune des transformations (a), (^), (y), (S).

Si le point |x varie dans le semi-plan (II), le point [jl' varie en même temps dans le semi-plan (II'). Cherchons la nature de la correspondance qui relie les points [Jl et |x'.

Il est tout d^abord évident que cette correspondance est algébrique et rationnelle. Remarquons en second lieu que, si le semi-plan (II) varie en enveloppant une développable, il en est de même du semi-plan (II'), et les caractéristiques des deux semi-plans se correspondent évidemment. Autrement dit, si le point ^ se déplace dans le semi-plan (II) sur une droite, il en est de même pour le point [x' dans le semi-plan (II'). On en conclut que la correspondance entre les points |x et [x' est homo graphique»

En outre, si le point [x décrit un cercle dans le semi> plan (n), le point [x' décrit aussi un cercle dans le semi-plan (II'). En effet, un cercle peut être caractérisé comme étant, de deux manières dillérentes, enveloppe d'une famille de sphères : les sphères de Tune des familles sont celles qui passent par le cercle, les autres sont les sphères-points dont le lieu est ce même .cercle. L'une quelconque des transformations que nous considérons fait donc correspondre à un cercle une surface enveloppe de sphères de deux manières différentes, c'est-à-dire une cyclide de Dupin. Donc, quand le point [x décrit un cercle dans (II), le point [x' décrit la courbe de contact de (II') et d'une cyclide de

Ann, de Afathémat,, 4* série, t. VI. ( Octobre 1906.) 29

( 45o ) Dupin. Une telle courbe est nécessairement un cercle, comme il est bien connu.

On voit donc quil existe entre les points [jl et [jl' une correspondance homographique, telle qu'à un cercle quelconque décrit par le point u. correspond un cercle ; cette correspondance est donc une similitude ; enfin, en raison du caractère involutif* des transformations considérées, le rapport k qui définit cette similitude doit satisfaire à la relation

A:«=i, d'où k=±\.

Ainsi la similitude dont il s'agit est une égalité directe ou inverse (*).

En résumé, les points de contact du semi-plan (D) avec diverses surfaces et les points de contact du semi-plan (n') avec les surfaces qui correspondent aux premières, dans l'une quelconque des transformations (a), (P), (y), (8), forment des figures directement ou inversement égales (^).

Cela établi, abordons le problème posé successivement pour chacune des quatre transformations.

I** Transformation (a). — Les considérations les plus simples conduisent iminédialement à la solution : on construit dans le semi-plan (ITi) le point {jli, tel que |JL[JL, soit perpendiculaire à (II) et (II,); puis on construit dans le semi-plan (II') le point [ji', symétrique du point |X| par rapport au point o>.

On voit ainsi que, dans le cas de la transforma-

(') Comme il s'agit de figures tracées dans des pians orientés, les mots en italique ont un sens.

(') Les figures formées par les points de contact sool seulement semblables, et non plus égales, si Ton considère les transformations générales dont il est dit on mot à la fin du n** 10.

(45. ) iîon (a), les points |x et [jl| engendrent des figures directement égales.

^** Transformation (^). — Construisons la semisphère (S), tangente à (H) en |A| et tangente à (II'). Cette semi-sphère se correspond évidemment à ellemême par la transformation (^) [puisque, si elle touche un semi-plan quelconque (IIi), elle louche aussi le semi-plan réciproque (n', )]. Son point de contact avec (II') est donc le point |x' cherché.

On voit que le point jx' est la position prise par le point [A lorsqu'on fait tourner le semi-plan (II) autour de Taréte du dièdre (II, II'), de manière à l'amener en coïncidence avec le semi-plan opposé

Ainsi, dans le cas de la transformation (P), les figures engendrées par les points [x et \à! sont inversement égales.

3** Transformation (y). — Remarquons lout d*abord que, dans le cas de la transformation (y), les points [JL et Y-' engendrent des figures directement égales. En effet, la nature de l'égalité doit être la même pour tous les couples de semi-plans réciproques, par raison de continuité. Or le semi-plan (lit) se correspond à lui-même et, de plus, toute semi-sphère touchant les semi-plans (lit) et (112) se correspond aussi à elle-même. Si doncles semi-plans (II) et (H') viennent se confondre avec (II, ), les deux points |x et ^ viennent se confondre en un même point, ce qui exige que l'égalité soit directe, en ce qui concerne le couple [(IIi), (IIi)], et par conséquent en ce qui concerne un couple quelconque.

Il existe une infinité de semi-sphères qui touchent (IIi), (lia), (n) et (n'). Chacune de ces semi-sphères

( 45p. ) se correspond à elle-même dans la transformation (y). Si donc le point [x est le point de contact |Xo avec (H) de l'une de ces semi-sphères, |a' est le point de contact [x, de la même semi-sphère avec (n').

Quand on fait varier la semi-sphère en question, les points [lo et |x^ décrivent respectivement dans les semiplans (n) et (n') des semi-droites Ox et Ox\ se coupant sur Taréte du dièdre (H, II') et faisant le même angle avec cette arête (Jig. i).

Fig. 1.

Les points à même distance du point O, sur ces semi-droites, se correspondent entre eux (0[jl'^= 0|Ao).

Si maintenant le point de contact de (II) avec son enveloppe occupe une position quelconque |x, on construira aisément le point |x', tel que le triangle Oix^^i.' soit directement égal au triangle 0|Xo|x.

4" Transformai ion (8). — Construisons un semicône de révolution (F') quelconque circonscrit à la seraisphère {Yt)[fig. 2) et ayant son sommet sur la droite D commune à (II) et à (11') : ce semi-cône se correspond à lui-même dans la transformation (8) [car tout semiplan tangent à (f) est transformé en semi-plan jouissant de la même propriété]. Soient S le sommet d'un tel cône, [Aq et [x^ les points de contact avec (S) des

( 453 ) semi-plans (II) et (n'). Les droites S[jlo et Sjji'^ se correspoodenl dans les figures engendrées par |a et [x'. On en conclut que la seconde figure s'obtient en faisant

Fig. 2.

tourner le semi-plan (II') autour de D, de manière à ramener en coïncidence avec le semi-plan opposé

Ainsi, dans le cas de la transformation (S), les points |ji et ^ engendrent des figures ini>ersement égales.

En terminant, je signalerai encore les faits suivants :

Les transformations (a), (P), (y), (8), étant de contact et changeant les sphères en sphères, conservent les lignes de courbure des surfaces. De plus, une sphère principale, c'est-à-dire une sphère tangente à une surface et ajant son centre en l'un des centres de courbure principaux de la surface au point de contact, est changée en sphère principale relativement à la surface réciproque de la surface considérée. On a ainsi

(0 C'est exactement la même construction que dans le cas de la transformation (p).

aies

le moyen de déterminer les éléments de la courbure d^une surface, réciproque d*une surface donnée dans l'une quelconque des transformations considérées.