MT MF
= coAst,
(E.-N. Barisien).
SOLUTION
Par M. A.- H. Couvert.
Posons
le point I est le centre du cercle générateur de la cardioïde considérée comme une conchoïde de cercle; on trouve aisément que la droiie AB coupe OS en E tel que OE = -• Joi-
gnons IM, IT, posons SOM= 9; nous avons
(i) SÏt' = Ïm'— ÎT.'
Or^ dans le triangle OIM, on a
IM = -r--H a*(i-hcosô)* — a*cos6(i-4-cosO)
Im'= ^(5-h (cose).
D'un autre côté
IT = lA = EA H- El = EA ^ ^| ^- " j .
point de coniact A tel que EA = — 7— • t)ès lors
Mais on trouve aisément que la tangente double AB a son
A tel que EA = ^. Dès
—1 gg» 3a« 3a' ** " 16 "^ 16 ~" 4 '
Remplaçant IM et IT par leurs valeurs dans (i), on obtient
MT*=^(5-h.',cose)- ^ = ^(i-HCicosO);
MH étant la perpendiculaire abaissée de M sur OS, nous
avons
MP = HE = a<i-+-4:cos6)cose-+- ^>
MP= ^(i-+-4cose-f-4cos»e) = ?(n-2cose)*.
En comparant les valeurs de MT et MP on en déduit
et comme a = — , il vient finalement
MT* os' ^^=-^=const.
Autres solutions par MM. Letiercb, Lez, Valkre Maks, Retali, J. Rose.
Soit dans un cercle une corde A F perpendiculaire au diamètre BG. On prend une parabole de foyer F tangente aux côtés du triangle ABC et un cercle de centre A tangent à BG; en dehors de BG, les tangentes communes à ce cercle et à cette parabole forment un triangle équilatéraL Mannheim.
SOLUTION
Par M. Pariiod.
La corde AF rencontre BG en un point H qui est le point de contact du cercle; soient E et G les points où deux tangentes communes rencontrent la droite BG; il suffit de montrer que l'angle M qu'elles forment est égal à 6o°.
Le quadrilatère FEMG est inscriptible ; donc
ivi-f-EAG = i8o%
Donc
Autres solutions de MM. Gisolf, Barisibn et Laureaux.
Soit ABCD un tétraèdre orthocentrique dont V orthocentre est H. Si un point M est tel que ses projections sur les plans des quatre face^ du tétraèdre soient dans un même plan, ce plan partage le segment MH dans le rapport de \ à 7., (G. Fo.NTENÊ.)
SOLUTION
Par M. R. Bouvaist.
La proposition à démontrer est analogue à la suivante :
La droite de Simson d'un point M du cercle circonscrit à un triangle d'orthocentre passe H par le milieu de la droite MH.
On peut la démontrer par des considérations analogues.
Si l'on considère un tétraèdre orthocentrique ABCD, le lieu des points M tels que les projections de ce point sur les faces du tétraèdre soient dans un même plan n'est autre que le lieu des foyers des paraboloïdes de révolution inscrits dans le tétraèdre, les plans précédents étant les plans tangents au sommet de ces paraboloïdes.
Or on sait que le plan orlhoptique d'un paraboloîde inscrit à un tétraèdre orthocentrique passe par l'orthocentre de ce tétraèdre (voir, par exemple, Diporcq^ Premiers principes de Géométrie moderne, p. ii8), ce qui démontre la proposition.
OllESTIOi\S.
2046. Soit A(Xfiv ) la droite de Simson relative à un point O du cercle ABC. Les parallèles à OA, OB, OC, menées par l'orlhocenlre O' de ABC, coupent BC, CA, AB en X', ji', v' et Ton a la droite A'(yV'^')- ^^^ droites A, 1' se coupent sur le cercle d'Euler au milieu de 00'. „ (P. Sondât.)
2047. Soient Ci, Ci, Gj, G^ quatre cycles d'un même plan, D/y et D/y les tangentes communes aux cycles G| et Gy.
Si les quatre semi-droites Du, Djs, D14, D^i sont tangentes à un même cycle, il en est de même des quatre semi-droites
D',., Di„Di», d;,. (R. B.)
2048. Étant donné un triangle ABC, on mène par le milieu a de la hauteur AA' une demi-droite faisant avec a A' un angle
égal à la différence des angles BAA', A'AG et située dans le plus grand de ces deux, angles. Gette demi-droite et les deux demi-droites analogues se coupent en un même point.
(A. ROGOFF.)
â049. On joint un point O aux points I, H, K où une se* cante X coupe les côtés BG, GA, AB d'un triangle ABG, et dans le faisceau O on inscrit un triangle quelconque AiBtd dont les côtés BiGi, GfAi, Ai Bj rencontrent la sécante en 11, H„ K,.
I. Les droites AIi, BHi, CKi sont concourantes en un point Of
II. Si les droites AO, BO, GO coupent les côtés correspondants de AiBiGi en P], Qi, Ri, et si les droites AïOi, BiOf, G|0] coupent les côtés de ABG en Pi, Qt, Ri, les six points P, Q, R, Pi, Qi, R| sont situés sur une droite Xi.
