DEUXIÈME SOLUTION

Par M. Nicolas Kryloff.

La question se résout élégamment à Taide du théorème suivant ( Cours de Hermite, 4* éd., p. 172) de Gauchy. Si F(^) est finie, continue et uniforme à l'intérieur du contour S, Tinté«:rale

¥{z)g'{z)dz

est égale au produit de aiir par la somme des valeurs de F(z), qui correspondent aux racines de g{z) = o, comprises à l'intérieur du contour S, en tenant compte de leur multiplicité. Or, en supposant, en premier lieu,

F(^) = ^ et g{z)=f{zy, nous voyons que aiir 2, fi est égal à

de l'autre côté 2, ttït — \ est égal, en prenant

F(^) = ^^ et g{z)=f(z), k l'intégrale

c'est-à-dire que la somme totale est égale au produit de air

par

r f'(z)dz

lequel est bien égal à o, comme étant égal à moins l'intégrale curviligne d'une fonction, holomorphe évidemment à l'extérieur des courbes SSi, et par suite égal à zéro.

Autres solutions de MM. Letierge et Sicard.

On considère une cardioïde dont le sommet est S, dont le point de rebroussement est O et dont les points de con-

tact de la tangente perpendiculaire à OS sont A et B. On

OS prend le point I situé entre 0 et S et tel que 01 = — 7-* On

décrit le cercle G de centre I et de rayon lA.

Soient T le point de contact d'une des tangentes au cercle G, issues d'un point quelconque M de la cardioïde^ et P la projection de M sur la droite AB. Démontrer que, quel que soit M, o/i a

c'est-à-dire

8MT*=0s'xMP,