NOVEMBRE

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Quai lies GriincN- \»gii>liii?, 55.

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(Ce Recueil parait clia<iue mois.)

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\jK Rédaction.

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THÉORIE MS PARALLÈLRS lASÊE Stî U TRANSLATION REGTILiG^E;

Pae m. Gaelo BOURLET.

Les Instructions qui accompagnent les programmes ofBciels (27 juillet 1900) de l'enseignement de la Géométrie, dans le premier cycle de TEnseignemeut Secondaire, recommandent aux professeurs de « faire un appel constant à la notion de mouvement » et de « lier le parallélisme à la notion de translation ». Beaucoup d'enlre eux se sont émus de ces Instructions, et à bon droit, en se demandant si dorénavant on enseignerait dans nos lycées deux Géométries : Tune, au premier cycle, où les parallèles seraient définies par la translation; l'autre, au second cycle, où Ton conserverait Tancienne méthode.

Làa question qui se pose est alors de savoir si Ton ne pourrait pas, en définissant les parallèles par la translation, construire une Géométrie aussi rigoureuse que celle que Ton enseigne actuellement et qui puisse être conservée d'un bout à l'autre de l'Enseignement Secondaire. C'est pour y répondre que j'ai rédigé ce petit travail qui n'est, en somme, que le premier Chapitre d'une nouvelle Géométrie où l'on ferait un appel constant à la notion de déplacement et où l'on donnerail à la méthode des groupes de 'transformations une place prépondérante.

C'est M. Charles Méray qui, à ma connaissance du moins, a pour la première fois, dans ses Nouveaux Éléments de Géométrie, dont la première édition

Ann. de Mathémat., 4* série, l. VI. (Novembre 1906.) 3l

( 48a ) remonte à 18749 f^ît usage de la translation pour définir les parallèles. En lisant TOiivrage de M. Méray, j^avais été frappé de la place qu'y tenait le postulat qu'il y a introduit, à savoir que deux translations peuvent être remplacées par une troisième ; mais Térainent professeur de l'Université de. Dijon, ayant surtout en vue la fusion des deux Géométries plane et de l'espace, ne s'était pas préoccupé de réduire le nombre de ses postulats et, à côté de celui que je viens d'énoncer^ il en admet bien d'autres. Il admet, par exemple, l'existence d'une infinité de glissières dans la translation rectiligne ; il admet aussi que, lorsque deux plans se déduisent l'un de Tautre par translation, toute droite qui rencontre l'un rencontre l'autre. Je me suis alors demandé si, en se plaçant, ce que n'avait pas fait M. Méray, au point de vue de la théorie des groupes, on ne pourrait pas bâtir une Géométrie élémentaire dans laquelle le postulat de M. Méray serait V unique postulat fondamental remplaçant celui d'Euclide.

Reprenant ainsi la chose de fond en comble, je suis parvenu à établir la théorie qui suit, qui diffère totalement de celle de M. Méray quant à l'esprit et s'en écarte notablement quant à l'ordre et à la nature des propositions. Il est clair que, dans un Traité complet de Géométrie, que je pense pouvoir faire paraître bientôt, on étudierait les angles et les rotations, l'homothétie et la similitude dans le même esprit.

Je suis actuellement convaincu que l'introduction d'une telle Géométrie dans notre Enseignement Secondaire constituerait un réel progrès.

Cette nouvelle méthode, substituant aux démonstrations artificielles actuelles d'autres plus naturelles, est plus intuitive, car elle fait voir à Tétudiant les déplacements qui permettent de comparer les figures.

Définissant les figures géométriques par les constructions mêmes par lesquelles on les obtient, elle donne lieu à des applications graphiques immédiates. Dès qu'on j a défini le parallélisme de deux droites, on sait tracer deux droites parallèles. On n'est pas obligé d'exposer, comme cela a lieu maintenant, deux Livres entiers de Géométrie, avant de pouvoir justifier la moindre construction élémentaire.

Enfin, et ce n'est pas là l'un de ses moindres avan- Uges, cette nouvelle Géométrie se prête admirablement aux simplifications nécessaires pour les débutants, et cela sans en modifier ni l'esprit ni P ordonnance.

J'ai pu, en effet, en conservant l'ordre exact des propositions de ce petit Mémoire, rédiger un Volume tout à fait élémentaire à l'usage du premier cycle (*), en me contentant de le dépouiller de sa forme abstraite et de substituer, aux démonstrations trop délicates, des vérifications expérimentales au moyen des instruments ordinaires du dessin. La comparaison des premiers Chapitres de ce Volume avec le présent travail montrera les ressources de cette nouvelle Géométrie.

Elle descend plus bas et monte plus haut que celle qui a cours. Présentée sous une forme expérimentale aux enfants, elle leur est plus accessible et est plus attrayante. Présentée avec tous ses détails, sous une forme abstraite, dans les classes élevées, elle initiera nos jeunes élèves aux méthodes fécondes de Sophus Lie qui ont droit de cité dans notre enseignement.

J'ai volontairement donné à l'exposé qui suit une forme abstraite, en employant la notation symbolique habituelle des groupes de transformation. On peut évidemment se passer de cette notation, mais les démons-

(*) Cours abrégé de Géométrie, chez Hachette et €••; 1906.

Lratîons seraient moins rapides et peul-éirè moins claires. D'autre part, pour montrer la rigueur et lé généralité du raisonnement, je n^ai fait intenhônneffement aucune (ïguré. Le lecteur plourrâ aîsément eh construire, s*if lè juge utile. J'aî également réduit cet exposé au strict minimum^ en élaguant les applications nombreuses dont il faudrait Tiflustrer dans un coiirs de lycée. Il ne suppose d'ailleurs que (a notion préalable du point, de la droite, du plan et de leur détermination ; en d'autres termes, les prêlimînaîrcs ôrainaires qui servent d'introduction à toute Géométrie élémentaire.

Pour plus de rapidité, j'ai rédigé à lâ fois la théorie dans le plan et dans l'espace. Rien n'est pliis facîfè qîiè de séparer la Géométrie plane de celle de l'espace si on le désire; maison détruit ainsi la parfaite hariiVome des parties II, lïl et IV, où Fon remarquera certainement l'exacte correspondance de Tordre des propositions dans les trois parties.