I. - TRANSLATIONS REGTILIGNES

f . Le déplacement d'une figure invariaf)le peut être envisagé de deux manières dilïérentes : sôit simplement au point de vue du résultat produit, soit dans son ensemble. Dans le premier cas on n'envisage que lés deux positions initiale et finale de la figure mobile, sans se préoccuper des positions intermédiaires ; dans le second cas on envisage, en outré, l'ensemble des positions intermédiaires de la figure, c'est-à-dire les trajectoires de ses divers points.

En nous plaçant successivement à ces deux points de vue, nous dirons que:

I** peux (Replacements sont éçuivalents s'ils transportent une même Jigure ntobile, partant de la même position initiale^ à la même position finale,

2** CJteuop déplacements sqnf égaujc s'ih 9ont équiyffl^nt^ et si en outfe les trajectoires décrites par un point mobile quelconque, dans les deux déplacéments, sont identiques,

2. Définition. — Soient P un plan fixe dit plan <|g glissement e( J) une droite fixe de ce plan quf^ nous appellerons glissière fixe Considérons, d*autr^ part, un plan p et une droite d de ce plan, dite glîssi^rç ipo^ije. ^i nous piaçor^s Iç pfqn p sur le plan P de /pçofi qu^ la droite d coïnçiçfe ayec la droite P, nous pourrons fa(re glisser li^ pfçfp p ^ui' le plan P (le forfç que d glisse sur p. Nou^ réaliserons qinsi i^n Mouv^MErtf de transl^jipi;^ fi^cjiLiGi^E cfe plan de gffssj^iriejif P et df gli^^ière D.

Tout point /7| de Pespace supposé lié invariablement au plan mobile p sera entraîné avec ce plan et subira ainsi un déplacement, et il en sera de même, d'une manière plus générale, de toute figurç invariable f (plane ou non) |iée invariablement au plan p.

§oient alors ftfi et F| le^ positions initiales d'pn point m et d'une figure / ; et soient Ma et Fj leurs positions finales lorsqu'on leur a l'ait subir une certaine translation rectiligne ^. Nous dirons qup M^ ^e déduit de, M« et jjue la ligure Fj se déduit de F| pa{^ la trcinslation rectiligne ï. Les points M2 et M^, ainsi aue les figures Fj et ^i, seront <Jif.s homologue^ dans )a translation rectiligne T.

Dans la suite, comme il s'agira toujours de transla> tioiis reçtilignes, nous nous contenterons, pour abfé-

( 486 ) ger le langage, de dire simplement une translatiorij en sous-en tendant l'épi thète rectiligne.

3. Translations égales. — D'après ce qui précède, deux translations T et T' seront dites é gales , et Ton écrira

si, non seulement les positions finales, mais encore les trajectoires décrites par tout point mobile, partant de la même position initiale, sont identiques dans les deux translations.

4. Translations inversks. — Soit T une translation qui amène une figure mobile / de F| en Fj. La translation de même glissière et de même plan de glissement, qui ramène f de F2 en F| en faisant décrire à tous les points de la figure mobile / les mêmes chemins que la translation T, mais en sens inverse, est ce que nous appellerons la translation inverse de la translation T et nous la désignerons par la notation T"* .

5. Translation identique. -^ Un mouvement de translation rectiligne est manilestement un mouvement à un paramètre, car la position du plan mobile />, et par suite de tout point lié invariablement à ce plan, dépend d'un seul paramètre, par exemple l'abscisse d'un point de la glissière mobile d sur la glissière fixe D. Dès que la valeur de ce paramètre est donnée les positions de tous les points mobiles sont bien déterminées ; ce qui revient à dire que, si l'on fixe la position d'e/n seul point lié invariablement au plan /?, celles de tous les autres points entraînés avec p sont bien déterminées.

En d'autres termes, si dans une translation rectiligne

(487) un seul point reste fixe, a un déplacement nul, tous les autres points mobiles restent fixes, c'est-à-dire ont des déplacements nuls.

Une translation de ce genre qui ne déplace aucun point est ce qu!on appelle une translation identique.

II n'y a évidemment o^xxune translation identique, car deux translations identiques sont égales^ conformément à la définition du n'' 3.

Ce qui précède |)roiive que :

Pour qu'une translation soit identique il faut et il suffit qu*elle laisse un point fixe, c^est-à-dire que la trajectoire rf'uN seul point soit nulle.

On représente la translation identique par le symbole 1.

Il est clair que la translation identique est égale à son inverse.

6. Produit de deux translations. — Supposons qu'une première translation T fasse passer une figure mobile/ de la position Y^ à la position Fa ; puisqu'une seconde translation T' transporte f de Fa en Fj. La figure invariable /aura subi un déplacement total de F| en Fj qu'on appelle le produit des deux translations T et T'.

7. Postulat. — // existe une translation rectiligne et une seule équivalente au produit de deux translations rectilignes et indépendante de l'ordre des facteurs.

En d'autres termes, nous admettrons que, si une translation ï amène une figure /de F< en Fa et si une

( 488) seconde Iranslatioo T' transporte / de Fj en Fj, il existe une translation rectiligne et une seule qui transporte y de F< en Fs.

Nous désignerons cette translation rectiligne par le symbole TT'.

De plus, si Ton effectue d'abord la translation T', elle transportera/ de F| en une certaine position F^, puis la translation T ramènera précisément / de F^ en Fj.

Les deux translations rectilignes TT' et *r'T sont égales (au sens précis du n** 3), ce qui s'écrira