X( !««-*. P») OU

(a) X4>(a, p, w)— aCw = o

en posant 4>(m, V, cv) = (A -h A'-i- A')(a*-f- p*-Mv*)— /(m, t>, »»).

Éliminant X, u, Uy Wy entre les équations (i) et (2), on obtient comme équation du lieu

^[xzyyzy — (jr«-4-j^«)]4-aC^(a:«-h^*)= o,

qui est une surface du quatrième degré en général. Développant l'équation trouvée, elle s'écrit

J (A-hA')(a:>-+->^«;(x»-H^«-+-z»)-2;»(Aar»H-A>»-H2B'ar^) ) -i-^(ar«-hj^»)(A'z-haB^ -+- aB'ar) -h 2 C«(a7»H-^*) = o.

Cette surface s'abaissera au troisième degré, si « = o est

en facteur, ce qui exige que l'on ait A-h A'=o.

Dans ce cas, le plan ^ = o, occupe la surface donnée suivant deux droites rectangulaires ; donc le point O est un point de l'intersection de la quadrique avec sa sphère de Monge.

Le lieu se réduira à une surface du deuxième degré, si (ar*H-^*) est en facteur, ce qui exige A = A', B'sso, le point O est alors un ombilic de la quadrique.

Considérons maintenant le cas où le plan variable est astreint à passer par une droite fîxe D, que nous pouvons supposer dans le plan des xz.

Les équations de cette droite seront

et entre i/, Vy w on aura la relation um-h w sso qui, avec les équations ( i ), donne

(4) x^-^y^ — mxz ^ o.

Le lieu cherché est rinierseclion des deux surfaces (3) et (4;.

En remplaçant dans (3) (x*-\-y*) par sa valeur tirée de l'équation (4), on voit sans difficulté que le lieu cherché est défini par les équations

a?* -h j'* — marz = o,

a?«»l[(A-*-A')m»-h2B'/n-h A'— A]ar-f-2(Bm — B')^

-h (A -h X')mz -\-iCm\ =0.

Ce lieu se décompose en l'axe des Zy les droites isotropes passant par l'origine dans le plan des xOy et enfin une conique intersection du cône

x^-j- yi — mxz = o et du plan

C'est le lieu cherché.

Étant donnés deux ternes de points ABC et A'B'C, si D est un point de la cubique gauche qui passe par ces six points, les quadriques, en nombre doublement infini, qui sont inscrites aux deux tétraèdres DABG et D'A'B'C passent par la droite d'intersection des plans (ABC) et (A'B'C')(ctf qui constitue d'ailleurs une condition simple).

(G. FONTENÉ.)

SOLUTION Par M. R. B.

Soit A la droite d'intersection des deux plans (ABC), (A'B'C). Appelons a, p, y ^^^ points d'intersection de la cubique gauche et d'un plan variable passant par A. Les plans (Da^), (D^^)» (^Y") enveloppent un cône G qui, on le voit immédiatement, est de la seconde classe et par conséquent du second ordre, puisque, par la droite Da, par exemple, il ne passe que deux plans tangents à ce cône, le plan (Da^) et le plan (Day).

Le cône (G) est évidemment tangent aux plans (DAB), (DBC), (DCA), (DA'B'), (DB'C), (DCA') et (Da). Donc toute quadrique tangente aux six premiers points est tangente au septième. Il en résulte bien que les quadriques dont il est question dans l'énoncé contiennent la droite A, puisque par cette droite on peut mener trois plans tangents à l'une quelconque d'entre elles, à savoir les plans (ABC), (A'B'C) et (DA).

(1»0V. p. SSS.)

Soit une ellipse de foyers F, F'. En chaque point M de l'ellipse on prend sur la normale en M deux points N et IN' tels que

MN = MN'= s/MF. MF'.

On considère les cercles de centre N et N' et de rayons NM et N'M. Les tangentes communes à chacun de ces cercles et à l'ellipse rencontrent la tangente «/i M d l'ellipse en

quatre points P, Q, P', Q' dont le lieu se compose d'une ellipse et d'une hyperbole, (E.-N. Barisien.)

SOLUTION

Par M. Lbtierge.

Prenons pour axes de coordonnées les axes de Tellipàe

d équation — -♦- "tï — ï = o et soient (acoscp, 6sin^) les

coordonnées de M.

On sait que

MF.MF'= a» sin«(p -♦- 6« cos«<p

et, si Ton désigne par N le point obtenu en portant la longueur indiquée sur la normale vers la convexité de la courbe, par N' l'autre point, on voit aisément que leurs coordonnées sont

a? = (a-f- e6) cosïp, y = 6(a -H e6) sinç,

avec t = -h I pour le point N, £ = — i pour le point N'.

O étant l'origine, les tangentes à l'ellipse, parallèles à ON, sont à une distance de O, et par suite de N, égale à

/a* sin*<p -+- 6* cos*ç ;

donc ce sont les tangentes communes à l'ellipse et au cercle (N); de même les tangentes communes à l'ellipse et au cercle (N') seront parallèles à ON'.

Le lieu cherché est donc défini par les équations

Î^arcosç-h a^sin^ — a6 = o, â?sincp — e^cosç d= /a* sin*<p -f- 6* cos*^ = o.

m et m' désignant les coefficients angulaires de ces deux droites, on a

(•2) mm' T=z — e-,

indépendant de «p.

Si donc Ml est le point de contact de l'ellipse et d'une tangente parallèle à ON, Nt le point relatif à Mi, la droite ONi

sera parallèle à la tangente en M et le cercle (IV,) sera tangent à cette dernière.

Posant — ^ = m, les équations ( i ) s*écrivent C0S9 ^

i a^iy^ — 6')m*-»- labxym -+- b^{x^ — a*)= o, ( (a?* — a'^)m'^ — iixym-\-{y^ — b^)=-o^

qui, d'après la remarque faite, ont, pour un point du lieu, deux racines communes, ce qui exige

a'iiyt-^b^) a:» — a»

ab ^»î(r«-a»)

d'où pour équation du lieu

a(a^tb) b(a-^tb)

ce qui représente une ellipse et une hyperbole, toutes deux circonscrites au rectangle construit sur les axes de l'ellipse donnée.

Remarque. — Ce calcul suppose que les deux tangentes, dont il a été question dans la remarque faite plus haut, ne sont pas confondues. La relation (2) montre que ce cas se présentera pour

soit e = — I, on a /n = ±i/— et les équations (3) donnent comme lieu singulier les quatre droites

v/âj^ ± /6a7 db ^ab{a-\- b) = o,

qui sont les droites, autres que les axes, obtenues enjoignant deux à deux les quatre sommets de l'ellipse lieu; elles sont parallèles aux asymptotes de l'hyperbole et tangentes à Tellipse donnée en des points A,^ As, As, A4.

On voit aisément que, lorsque M se trouve en Ai, par exemple, le point N' est le centre de courbure de l'ellipse en Al et par suite le cercle (N')a, avec l'ellipse donnée, trois tangentes confondues avec la tangente en A,. La normale

en A| est à une distance de O égale à (a — b); donc incidemment on voit que le cercle de centre O et de rayon (a — b) est tangent en quatre points à la développée de Tellipse.

Autre solution de M. Painvin.

Sur la normale au point m d'une ellipse de centre o, et extérieurement à cette courbe, on porte le segment mp égal au demi-diamètre conjugué de celui qui aboutit en m.

Démontrer que les droites pm, po sont également inclinées sur les tangentes à V ellipse issues de p,

(Mannheih.)

solution Par M. Kluq.

Construisons le cercle qui passe au point ^ et dont le centre est le point de rencontre de la tangente en /n à Tellipse et du petit axe de cette courbe. Appelons respectivement y, r, /, g les points de rencontre de ce cercle avec les droites /?m, op et avec le grand a\e de l'ellipse.

Les deux axes sont, comme l'on sait, les bissectrices des

angles poq^ roq, et Ton a de plus, avec les notations habituelles,

op ts: a -h by oq = or ss a — 6,

d'où Ton tire

o/"«= og^=/o.og = op.ro = a* — 6*= c*.

Par suite les points / et g sont les foyers de l'ellipse. Les droites />o, pm sont également inclinées sur les droiits p/^ pg et par suite sur les tangentes issues du point m à l'ellipse.

Autres solutions de MM. BaIiisibn et H. Lez.

Le lieu du centre des ellipses surosculatrices en chaque point d'une ellipse donnée, et ayant une aire constante, est une ellipse, (Ë.-N. Barisien.)

SOLUTION

Par M. Parrod.

L'ellipse donnée est la projection d'un cercle G, l'ellipse surosculatrice en un point M est la projection d'une ellipse Ej surosculatrice au point du cercle dont la projection est M, ce point Ml est un sommet de Tellipse Et, l'aire de l'ellipse Ef est constante; donc cette ellipse est constante en grandeur et son centre décrit un cercle concentrique au cercle G ; le lieu cherché est la projection de ce cercle, c'est-à-dire une ellipse homothétique et concentrique à l'ellipse donnée.

QUESTIONS

^52. Soient a, b, c, d des fonctions d'une variable x : a

. . ^ „ . ajs -hb , ,

priori on peut mettre 1 expression -^ sous la forme

X A:, l'accent indiquant une dérivée; exprimer la

fonction k au moyen des fonctions a, b, c, d et de leurs dérivées.

Applications aux deux formes de l'intégrale d'une équation de Riccati :

^^ Cc-^d' '^^ X Ci/?-hy •

( Voir une Note de M. Raffy, Noupelles Annales, 1902, p. 529.) G. F.

2053. La conique, qui touche les côtés d'un triangle donné ainsi que les perpendiculaires élevées du centre de son cercle inscrit aux droites qui joignent ce point aux extrémités de l'un de ces côtés, est tangente au cercle inscrit au triangle.

( Canon.)

2054. Les axes des coniques ayant un contact du troisième ordre avec une courbe en un point M donné sont tangentes à une parabole. (A. Pbllet.)

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