II. Quelle est la limite de
y sin{x-^)
quand x tend vers l'infini par valeurs positives,
ËpRKLVE PRATIQUE. — On considère une ellipse et une tangente fixe.
Parallèlement à la tangente fixe TT' on mène dans l'ellipse une corde AB ; on projette les points A «/ B sur TT', ce qui forme un rectangle.
Comment faut-il choisir la distance des parallèles AB et Tl' pour que ce rectangle ait une aire maximum,
(Juillet 1906.)
Rennes.
Épreuve écrite. — Déterminer les courbes planes dans lesquelles l'angle a que forme la tangente avec Ox est
( 5i9 ) donné en fonction de l'abscisse par la formule
%ax sina =
1° Montrer que ces courbes peuvent se représenter par Vune ou Vautre des équations
(I) ^ = C±aL(.-g),
(a) j' = C±aL(g-i).
2* Étudier les deux courbes
(,') j. = aL(,-g).
et faire voir que toutes les autres courbes considérées (i) et (a) s^en déduisent par translation ou par symétrie,
( On déterminera la forme de. la courbe j le rayon de courbure en fonction de VabscissCy les asymptotes et les points d^ inflexion s* il en existe.)
3* Trouver les trajectoires orthogonales des courbes (i) et{^).
Épreuve pratique. — Calculer les intégrales
dx
^ . cosasin^r
__ r"*" dx(ï-h cosx) *~~*/-ic (* — cosasina?)*
(Juillet 1906.)
Toulouse.
Épreuve écrite. — I. Soient deux axes rectangulaires Oxj Oy. En un point M quelconque de la courbe E on mène la tangente, qui coupe l'axe des y en P, et l'on élève PX perpendiculaire sur PM.
i"" Calculer les coordonnées du point M| où la dt'oite PA touche son enveloppe.
2° Déterminer la courbe E de façon que le segment ^M^ ait une longueur constante ia. Quelle courbe décrit alors le point Mi?
3° Déterminer la courbe E de façon que la droite MMi passe constamment par V origine. Quelles sont les trajectoires orthogonales de la famille de courbes ainsi trouvées ?
II. Un point matériel M non pesant, de masse égale à V unité, est attiré par un point fixe O proportionnellement à sa distance. Ce point est mobile sur une droite fixe D avec un frottement de coefficient f. Le point M est primitivement en un point A de la droite, sans vitesse initiale. On désigne par w la projection du point fixe O sur la droite fixe D, et l'on pose toA = a, wO = A.
1° Le point M se mettra-t-il en mouvement?
2° S^il y a mouvement, étudier ce mouvement, et déterminer le point de la droite oà la vitesse du mobile s*annu' lera pour la première fois,
3** Que se passera- t-il après cet instant, et, en supposant
que Von ait -=• = - et /"= -> au bout de combien de temps
le mobile s'arrétera-t-il définitivement ?
Épreuvr PR4TIQUK. — Calculer une valeur approchée de r intégrale
e-*' dx
par la méthode de Simpson, en divisant le champ d'intégration en six parties égales (on donne log« = 0,434^9)*
(Juillet 1906.)
SOLUTIONS DE OUBSTIONS PROPOSÉES
On considère une quadrique et un point O sur cette quctdrique. Par O passe un plan variable. On prend le point de Frégier de la section relatij au point O. Lieu de ce point ?
Ce lieu est en général une surface du quatrième ordre. Dans quel cas se réduit-elle à une surface du troisième ordre ou du deuxième ordre ?
Quel est le lieu du même point en supposant que le plan variable soit astreint à passer par une droite fixe ?
(E. Cahen.)
SOLUTION Par M. Lbtierce.
Prenons pour axe des z la normale en O à la surface, pour axes des x et des y deux droites rectangulaires du plan tangent en O.
L'équation de la surface est
A a?« H- A'^* -h A'z» H- 7. Byz -h iB' zx -h ^B" xy -h iCz = o, ou
/(a?,r, ^)H-aG.8 = 0,
en désignant par/(â7,^, z) l'ensemble des termes du second degré.
Soit
ux -h vy -h wz = o
un plan variable.
La normale en O à la section déterminée par ce plan a pour équations
( 5a2 ) Un point M quelconque de cette normale a pour coordonnées
(l) X = AUj jr=KA«>, JS a=s — A y
où X est un paramètre variable.
Ce point M sera le point de Frégier delà section relatif à 0 si Ton détermine X de façon que le plan ux-^ vy -h wz = o coupe suivant deux droites rectangulaires Tun des cônes de sommet O, passant par l'intersection de la quadrique et d'un
plan quelconque p mené par M.
1^1 -^ pt Si Ton prend pour P le plan « = — X » le cône correspondant a pour équation
Le plan ux -^ vy -h wz =o le coupera suivant deux droites rectangulaires, si l'on a
[a -h A' -h A'— a , , 1^"" ,^ ](ut^v*^w^)
