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mUNB BUN TÉTRAÈDRE EN FONCTION DES ARÊTES; DÉMONSTRATION GÉOMÉTRI«UB;

Par m. g. FONTENÉ.

Étant donné un tétraèdre ABCD, soient a, p, y, S les coefficients barycentiqiies dont il faut aflecter les sommets pour que le barycentre soit le centre O de la sphère circonscrite. On a, pour tout point M de l'espace,

V a MA* = X M0« -h const. ;

on détermine la constante en mettant M au point O, et Ton a

' 2aSrÂ* = X(M0« + R«).

Si l'on met successivement le point M en A, B, C, D, en désignant par a, 6, c les côtés du triangle ABC, et par a', 6', c' les longueurs DA, DB, DC, on a

pc^-4-Y6*^-8a'* = 2XR^

on a d'ailleurs On a donc

Si Ton multiplie les lignes de ce deroier délermi-

nant par -r* x?' - ' "^ r? ~> P"*^ '^^ trois premières co-

lonDes par tt — * > — ^> ce qui ne change pas sa

valeur, on obtient

o ce' bb' aa'

ce' o aa' bb'

bb' aa' o ce'

aa' bb' ce' o

— (aa'4- 66'-t- ce') (66'-4- ce'— aa') (cc'-H aa'— 66'). . .,

ou, d'après la formule de Brassine (* ),

— i6x(6VR)«.

On a donc

en appelant A le déterminant qui est multiplié par aR^ dans la relation écrite plus haut.

C'est la formule cherchée.

(') La formule de Brassine (Nouvelles Annales, 1847, p. 226) a été retrouvée par de Slaudt {Jbid., 1869, p. 440- J'^* montré ailleurs que celle formule s'oblienl en transformant par rayons vecteurs réciproques la formule S = >/p{p — ^)* • • > or i^ n^e semble maintenant que j'ai vu autrefois cette démonstration dans les Nouvelles Annales.

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RBGHBRGHE DE LA LOI QUE DOIT SUIVRE WM FORCE CENTRALE, SACHANT QUE LA 1RAJECT0IRE EST UNE CONIQUE, QUELLES QUE SOIENT LES CONDITIONS INI- TIALES;

Par m. Paul-J. SUCHAR.

Ce problème a été résolu, comme on sait, par MM. Darboux el Halphen (*) dans le cas particulier où la loi de la force ne dépend que de la position du mobile. Je me propose de résoudre le problème dans le cas plus général, en supposant la loi de la force fonction de la position du mobile et des composantes de la vitesse sur les axes de coordonnées.