Soient

dx , dy , dx' dy'

les équations du mouvement rapporté à un système d'axes, ayant pour origine le centre de la force, la masse du point élant supposée égale à i, et w est une fonction dépendant en général de x^y^ ^' •! y \ enfin

(2) f{x,y)=^kx^-^7.Bxy-\- C^« -+- 2 Da? H- 2 E j^ h- F = o,

rinlégrale générale du système (1). Diflférentions (2) par rapport a t, on aura

( ' ) Dahdoux, Comptes rendus, t. LXXXiy.

( 533 ) Si nous rendons (2) homogène et si nous désignons par Y la constante des aires, on aura d'après (3) et en ayant égard au théorème d'Euler sur les fonctions homogènes

rr-k^h

Jz Jz

DiiTérentions une seconde fois (3) par rapport à t, et, en ayant égard au théorème d'Euler sur les fonctions homogènes et aux équations (i), (2) et (3), on aura, tous calculs faits,

Remarquons que le numérateur

pour tous les points de la conique (2), est une constante, et cette constante a pour valeur — A, A étant le discriminant de la conique (2). On aura donc

en ayant égard à (4), on aura enfin

" " /i' ■" Y /;' " ï fie' '

d'où Ton déduit les trois lois de forces

ur iir x'^ u r y*^

^^^ (Dar-hE^'-hF)»' (Bar-hC^-hË)»' (Aar-t-Bj^-hD)»'

On retrouve ainsi une des lois de MM. Darboux et

( 534 ) Halphen, et deux autres lois. Ces deux dernières lois ne sont pas distinctes, elles se déduisent Tune de Tautre par une permutation des axes de coordonnées. Il suffit alors de montrer que la deuxième loi satisfait bien au problème, c'est-à-dire qu'elle fera décrire à son point d'application une conique, quelles que soient les conditions initiales.