AB = CD, BG = DA

Ce sont les conditions nécessaires et suffisantes pour quil existe quatre droites distinctes rencontrant A a, B^, Cy, D8, c^ est-à-dire pour que ces quatre droites appartiennent à un même hyperboloïde. C'est le résultat annoncé au n" 1.

3. Soient ABCD un quadrilatère satisfaisant aux relations (3), et (H), l' hyperboloïde qui contient Aa, B^, Cy, Dô. La figure constituée par ABCD et (H) dépend de 12 — 2 = 10 paramètres. Donnons-nous, a priori y Thyperboloïde (H), et cherchons à construire le quadrilatère ABCD de telle manière (]ue les droites Aa, B^, Cy, Do soient des génératrices de (H). Il semblerait que le problème est simplement indéterminé, quel que soit (H), puisque nous imposons neuf conditions aux dix paramètres dont dépend la

(70 ligure. On va voir qu'eu réalité, Vhyperboloïde (H) doit satisfaire à une condition, et que, cette condition étant supposée satisfaite, le problème est doublement indéterminé.

Il est lout d'abord bieu évident que le quadrilatère ABCD admet un axe de symétrie (c'est la droite joignant le milieu des diagonales AlC et BD) et que cet axe est un axe principal de i'hypcrboloïde (H). Rapportons cet hyperboloïde à ses axes principaux cl soit alors

son équation. Le quadrilatère ABCD doit être, d'.iprès ce qu'on vient de dire, symétrique par rapport a Tun des axes de coordonnées. Supposons que cet axe soit O;;. Si Ton appelle (Xj,j^i,5,) et (x^jj^'a, z^) les coordonnées des points A et B, celles des points C et D sont respectivement ( — x,, — j^,^ z^) vl ( — X2, — y-i-, z^)- Le plan ABD a pour équation

— ^2 - yt ^t

Xi yt -i I

O O Zi' l

Xi Xi o o

d'où l'on tire sans peine les équations de la droite Aa :

x — xx y—y\ z — zi

Pour exprimer (|uc Ja droite Aa est sur (H), il suffit

(73) d'écrire qu'un point quelconque de la droite Âa, dont les coordonnées sont

jj = z, -h lixijTi — xiyt ),

appartient à cette surface. On forme ainsi une équation du second degré en X qui doit être identiquement satisfaite.

Il nous suffira de retenir la condition obtenue en annulant le coefficient du terme en X.

On trouve ainsi

\ -i- Cziix^yt — x^ yi) = o.

On trouvera une condition analogue en écrivant (}ue Bp est sur (H). Il sufiit de permuter les indices i et 2, et Ton obtient

( -I- Czt{Xiyi^Xtyi) = o\

d'où, en ajoutant les équations (i) et (a),

Les deux premiers facteurs de la relation pi'écédenle ne sont pas nuls, sans quoi le qiiadrilaièreABCD serait dans un plan, soit passant par O^, soit parallèle à xOy. On doit donc avoir

Ce qui montre bien que riiyperbohjïde (H) n'est pas quelconque : la condition (3), de forme bien connue,

( 74) exprime qu'il est orthogonal, c'est-à-dire qu'il a des générairîces et des plans cjcliques perpendiculaires (* ).

4. Réciproquement, soit (H) un hyperboloïde orihogonal. Je dis que Von peut construire une double infinité de quadrilatères ABCD, tels que les perpendiculaires Aa, Bp, Cy, D8, menées des sommets A, B, C, D du quadrilatère, respectivement aux plans (DAB), (ABC), (BCD), (CDA), soient des génératrices de même système de (H).

Ce tliéorème peut être considéré comme résultant du compte de paramètres, fait au début du n^ 3. Mais on obtient une démonstration plus rigoureuse et plus instructive par des considérations d'un ordre diilérent.

o. Dans ce qui suit, je considérerai un hyperboloïde (H) quelconque, mais distinct d'un paraboloïde ; je dirai, pour abréger, que les génératrices rfe (H) sont (i) ou (2) suivant qu'elles appartiennent à un système ou à l'autre.

Soient G une génératrice (i) fixe, F et F' deux génératrices (]) variables, telles que les perpendiculaires communes à G et à F d'une part, à G et à F' de l'autre, aient leurs pieds sur G confondus. 11 existe entre F et F' une correspondance dont nous allons chercher la nature.

La perpendiculaire commune à G et à F engendre, comme l'on sait, un cylindroïde ou conoïde de

(*) D'une façon plus précise, sur les six plans cycliques d'un hyperboloTde orthogonal, il y en a deux qui sont perpendiculaires à des génératrices de la surface. Ces deux plans, supposés diamétraux, se coupent suivant un axe principal. Il faudra toujours entendre, dans ce qui suit, pour axe de Thyperboloïde, l'axe dont il s'agit.

(75) Plucker (P), dont G est la droite double. Donnonsnous r, et soit X la perpendiculaire commune à G et à r. X ne peut être perpendiculaire commune à G et à aucune génératrice (i) autre que F, sans quoi (H) aurait trois génératrices parallèles à un même plan, ce qui contredirait Thypothèse faite que (H) n'est pas un paraboloïde. Mais, par le point où X rencontre G, il passe une autre génératrice X' du cylîndroïde (P), et X' est perpendiculaire commune a G et à une seule génératrice (i) n.

La correspondance entre T et P est donc biunîvoque; comme elle est, en outre, évidemment symétrique, on voit que T et V sont conjuguées dans une im^olution ( J).

U est aisé de définir Tinvolution (^) par deux couples particuliers de génératrices conjuguées (F, F') : construisons {Jig- 2) les deux génératrices (1) F| et Fj

Fig. a.

qui sont perpendiculaires à G. Il existe une génératrice (i) Fj, autre que G, perpendiculaire à F,, et une génératrice (i) F,, autre que G, perpendiculaire à F2. Soit enfin F* la génératrice (2) parallèle à F2; F^ est la perpendiculaire commune à G et à F^. Désignons par a le point où F^ rencontre G; comme G est perpendiculaire au plan (F| , F^), a est le pied sur G de la perpen-

(76) dîculaîrc commune à G et à Ff. On voit donc que Fi el F', sont conjuguées dans i'involution (^). De luêmi; F2 el Fj. Ainsi, Vinuolution (^) est définie pour /es deux couples de génératrices conjuguées (F, F^ )

Cela établi, supposons que (H) est un liyperboloïde orthogonal, et représentons en Q sa trace sur le plan de rinfiui {fig. 3). Représentons aussi en S rombilicalc

Fig. 3.

et soient///, //, m\ n' les quatre points d'iiiterseclioii de S et de Q; puisque (H) est orthogonal, deux des cordes rommiines à ces deux coniques ont leurs pôles, par rapport à S, sur Q; par exemple, les tangentes à S aux [)oiiits m et n vont concorder eu p sur Q, et les tangentes à S aux points m' et n' vont concorder en // sur Q.

On peut considérer le contour mp/i comme constituant un hexagone dégénéré, inscrit à Q, el dont tes sonune/s consécutifs sont conjugués par rapport à S ; les sommets de cet hexagone sont, dans l'ordre, les points I, 2, 3, 4, 5, 6, disposés comme le montre la figure.

Il exisie donc, en vertu d'un théorème connu, une

(77) infinité d'hexagones inscrits à Q et dont les sommets consécutifs sont qpnjugués par rapport à S ( * ). Soit ST^Ts^TiT^ un tel hexagone. Ses sommets sont les lr;ices, sur le plan de Tinfini, de génératrices (i) de (H), que nous appellerons respectivement G, I^, Fj, G', r;, Fj. (G, r,), (r,, r;), . . ., (Fa, G) som des couples de génératrices rectangulaires.

On voit donc que deux génératrices, conjuguées dans Finvolution (^) définie plus haut, ont pour traces sur le plan de l'infini deux points de Q, conjugués dans Finvolution (i) définie sur cette conique par les couples de |K>ints (yi»Yi)^-t {fa Y)- D'autre part, quand on fait varier l'hexagone gyiy^S^Yty^' ^" *^''' ^**® deux sommets opposés de cet hexagone sont conjugués dans une involution définie, on le reconnaît immédiatement, par les couples (//i, /z), {ni'j n'). L'involution (i) se confond donc avec celle-là. Par conséquent, Vinvo^ lution (^) fie dépend pas de la génératrice G. Deux génératrices conjuguées dans cette involution ont leurs traces sur le plan de l'infini en ligne droite avec le point de rencontre de mn et de m' n\ ce qui revient à dire que ces génératrices sont symétriques par rapport à Taxe de l' hjperholoïde.

Nous sommes donc parvenus au théorème suivant :

Soient (H) un hyperboloide orthogonal, G, F et F' trois génératrices de même système de cet hyperho-

(^) mpn peut aussi être considéré comme un quadrilatère dégénéré inscrit à Q et circonscrit à S. On peut donc énoncer Je théorème suivant (qui a sans doute été déjà remarque) :

Deux coniques Q e/ S doivent satisfaire aux mêmes conditions pour qu^ii y ait des quadrilatères inscrits à(^ et circonscrits à S, et pour qu'il y ait des hexagones inscrits à Q et ayant leurs sommets consécutifs conjugués par rapport à S.

(78) loïde, r et V étant symétriques par rapport à Vaxe de ta surface. Les perpendiculaires communes à G et r d'une part, à G et à V de r autre, ont leurs pieds sur G confondus.

La réciproque énoncée au n® 4 s'en déduit immédiatement.

6. Je vais maintenant montrer que les résultats précédents conduisent à la connaissance d'un système articulé, très intéressant, découvert par G. -T. Beunett (*), et retrouvé indépendamment par M. Emile Borel (^).

Soient toujours ABCD un quadrilatère gauche à côtés opposés égaux, Aa, B^, Cy, Do les perpendiculaires élevées des sommets A, B, C, D aux plans (DAB), (ABC), (BCD), (CDA). Considérons les droites Bf4 et Cy comme formant une figure de grandeur invariable. Puisque Aa, B^, Cy, D8 sont sur un même liyperboloïde, on peut donner à la figure (B^, Cy) un déplacement infiniment petit, tel que les di*oites B^ et Cy aient respectivement A a et D 8 pour droites conjuguées dans le complexe linéaire attaché à ce déplacement infiniment petit. Autrement dit, dans le déplacement, Bp tourne autour de'Aa, Cy tourne autour de D8. Nous pouvons encore donner à ce résultat l'expression suivante : On peut déformer infiniment peu la figure (A«, Bp, Cy, DS), (Aa, B^), (BfS, Cy), (Cy, D8), (DS, A a) constituant quatre figures invariables.

Après cette déformation infiniment petite, ABCD est encore un quadrilatère à côtés opposés égaux ^ donc

(*) Engineering (décembre igoS, p. 777) : A new Mechanisni, (*) Mémoires des savants étrangers (t. XXXIIIi n* l, p. 56) : Mémoire sur les déplacements à trajectoires sphériques.

(79) Aa, Bp, Cy, D8 sont encore sur un même hyperboloïde, et ]a figure peut recevoir une nouvelle déformation intiniiuent petite; et ainsi de suite. Nous arrivons donc à cette conclusion que ]a figure est susceptible d'une déformation finie. Ainsi :

Soient ABCD un quadrilatère gauche dont les côtés opposés sont égaux deux à deux, et A a, B^, Cy, D8 les perpendiculaires menées des points A, B, C, D, respectivement aux plans (DAB), (ABC), (BGD), (CDA). On peut déformer le système, les couples de droites (Aa, Bp), (B^, Cy), (Cy, D8), (D8, Aa) for^ mant quatre figures de grandeurs invariables.

On a ainsi formé une chaîne fermée de quatre couples rotoïdes, pour employer le langage introduit par M. Kœnigs dans sa Théorie des mécanismes, c'està-dire un système articulé constitué de quatre corps rigides, articulés deux à deux suivant des charnières qui sont les quatre droites A a, Bp, Cy, D8.

7. On peut d'ailleurs donner une démonstration directe bien simple de la déformabilité du système en question : tout revient à démontrer, on le voit tout de suite, que le quadrilatère ABCD peut être déformé de telle manière que ses dièdres restent tous de grandeurs

constantes (j'appelle, par exemple, dièdre AB du quadrilatère, celui que forment les deux plans (DAB), (ABC).

Le quadrilatère ABCD peut être évidemment déformé

de telle manière que le dièdre AB reste de grandeur constante (puisque ce quadrilatère possède deux paramètres de déformation). Je vais montrer que tous ses autres dièdres restent aussi de grandeurs constantes.

(8o) On a eu effet (voir \sijig. i), dans le trièdre BACD,

sinBC! sinABD sinBA sinCBD

Maïs les deux triangles ABD, CBD sont égaux comme ayant leurs trois côtés égaux chacun k chacun. On a donc

CBD = Aoè.

Donc

sinBC sinABD AD