Proposons-nous tout d*akord le problème suivant
ABCD étant un quarbilatère gauche, soient A a, Bp, Cy^ Dô les perpendiculaires élex^ces des points A, B, C, D, respectivement aux plans (DAB), (ABC), (BCD), (CD A). A quelles conditions doit satisfaire le quadrilatère ABCD pour que les quatre droites Aol^ B^, (^y, D8 appartiennent à une même hjperboloïde ?
Comme on va le voir, il se |)résenUî le fait remarquable que les conditions, qui seraient, a priori, au nombre de trois, se réduisent à deux distinctes, d'ailleurs bien simples : le quadrilatère ABCD doit avoir ses côtés opposés égaux deux à deux.
(70) 2. Prenons le plan (ABD) comnie plan de la figure {fis* ^)* ^* droite Aa se projette orthogonalement sur
Aoc'
Fig. I.
ce plan au point A, les droites Bp, Cy, D8 se projettent suivant des droites B^o? Coyo, D805 qui sont respectivement perpendiculaires à AB, BD, AD. Si les droites Aa, B^, Cy, D8 sont sur un même liyperboloïde, il existe une droite I, parallèle à A a, qui rencontre Bp, Cy, DS. Cela exige que les trois droites BpQ, CoYoî D5q concourent en un même point E. Il revient au môme de dire que le point C (de l'espace) et le point d'intersection E des droites Bq po ^^ DqSi^ doivent avoir les projections orthogonales sur BD confondues en un même pointe. Mais le point E est diamétralement opposé au point A sur le cercle qui passe par les points A, B, D. Le point c est donc symétrique, par rapport au milieu de BD, du point a, projection de A sur BD, et l'on a
Ba = cD, Bc = aD; d'où Ton conclut
AB -DA =Ba — aD =cD — Bc = CD — BG
OU
(i) âbVbc' = gdVdâV
Réciproquement, si cette relation entre les longueurs des côtés du quadrilatère ABCD est vérifiée, il existe une droite parallèle à A a, et rencontrant B^, Cy, D8, et, a cause de la sjmétrie de la relation, une droite parallèle à Cy et rencontrant A a, B^, DS.
Il existera de même une droite parallèle à D^ et rencontrant Aa, B^, Cy, si la relation suivante est vérifiée :
<2) dX' -h ÂB* = BC* -h CD*.
Si les relations (i) et (2) sont simultanément satisfaites, on a
