II. Décomposer le premier membre de Inéquation

a?"— ia=o

en ses facteurs irréductibles. Effectuer la même déco mposition pour l'équation transformée en

et déterminer le groupe de substitutions de cette équation transformée.

Épreuve pratique. — Calculer à un millième près l'intégrale

i yarc tan g /a -h ^ ^

étendue à la circonférence de centre z ^ o et de rayon t. ; on donnera pour -« = o aux racines carrées leurs valeurs arithmétiques et à /'arc tang la détermination comprise

entre et -{ • (Juillet iQoS.)

(87) CERTIFICAT DR GÉOMÉTRIE^SUPÉRIEUilE.

Paris.

Éprruvb kcritk. — I. On considère les deux paraboloîdes

x^-+-y^ = %az, x*-^y^ = — ^aZf

et les droites qui sont tangentes communes à ces deux sur/aces. Déterminer les arêtes de rebroussement des développables engendrées par ces droites.

II. Équations qui déterminent la surface minima ayant pour ligne géodésique la développée d*une parabole.

Épreuve pratique. — Étudier les sections par les plans coordonnés et par les plans parallèles au plan des xy de la surface lieu des points dont les coordonnées x, y^ z s'expriment de la manière suivante en fonction de deux paramètres u et v :

y = vi^

(Mars 1905.)

CERTIFICATS DE CALCUL DIFFERENTIEL ET INTÉGRAL

Nancy.

Épreuve écrite. — I. On considère l'équation différentielle

Zap

dy où Von a posé -^ = p et où. a désigne un nombre donné

positif :

r° Intégrer cette équation;

2" Déterminer la solution telle que la courbe qui la représente admette l'axe des y pour tangente et construire cette courbe (on ne cherchera pas l'équation explicite de la courbe)^

y* Cette courbe est fermée; calculer le volume engendré par sa révolution autour de l'axe des y.

II. On considère la courbe représentée en coordonnées rectangulaires Oxyz par les équations

i* Trouver le lieu des parallèles menées par l'origine aux tangentes successives à cette courbe et trouver V enveloppe des plans menés par V origine parallèlement aux plans osculateurs successifs ;

2** Calculer l'angle de la tangente en un point de' la courbe avec la bissectrice de l'angle xOy\

3" Déterminer les développantes de la courbe,

(Novembre 1905.)

Épreuve écrite. — l. P et Q désignant deux fonctions données des deux variables indépendantes x et y, énoncer et démontrer la condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe une fonction u(x^y) dont la différentielle totale soit égale à

P(a?, y)dx— Q(ar, y) dy.

Commuent calcule-t-on cette fonction a?

n. Déterminer la fonction z des deux variables indépendantes X et y de manière :

1° Que l'expression zdx-hz^dy soit une difj^érentielle totale exacte; a° Que, pour y = o, la fonction z se réduise à \fx.

(89) La fonction z une fois déterminée, intégrer la différentielle

zdx-\- z^ dy.