X -k-y -H-si-ha

, a? -^-Tl-H« H- 2/> =1, (9)

Xx-\-y -\- Z H-2/l =T,

xi-^yi-{-zi-\-im = I.

On peut enfin remarquer que la somme des dix inconnues

pit égale â 9 ;

Les équations (8) forment ensemble le système des conditions à remplir.

Elles n'ont plus de solution lorsque chacune des inconnues est inférieure en valeur absolue à \.

Il en résulte un moyen de résoudre le système en donnant successivement à chaque inconnue les dix valeurs positives ou

négatives î^ pour lesquelles [N]g5 et en recherchant dans

chaque cas toutes les solutions possibles pour les autres inconnues.

Par raison de symétrie, il suffit d'opérer sur les deux inconnues m et X.

On peut rendre cette discussion plus facile en examinant séparément les cas suivants :

i^ a, by c, d ont des valeurs différentes;

2° Deux d'entre elles seulement sont égales : a = ô;

3** a = b, c = d^ a et c ayant des valeurs différentes;

5^* a = * = c = rf.

1° a, 6, c, rf ont des valeurs différentes, — Il en est de même de m, /i, p^ g [formule (3)]. Dans le groupe des inconnues Xj toutes les valeurs sont aussi différentes, mais il peut y avoir exception pour un seul des couples (a?, a?i), {y^yt) ou(z,z,).

Cela résulte des formules (6) et (7).

2** a = ô. — Gomme conséquence des formules (3) et (7), on a

/n = /i, r = «i» ri = «î

et les formules (8) se réduisent à

2X -hXi-^p -h ^r = 1, 2a?|-4-a? -\-im = i,

Dans ce cas, la symétrie n'est plus conservée et il ne suffit plus d'opérer sur les inconnues m et x. Mais la seconde des

équations ne contient plus que trois inconnues et c'est celle qu'on doit chercher à résoudre par la mélhode indiquée en rejetant les solutions incompatibles avec les trois autres équations.

3° a = *, c = rf. — On a

m = n, p — Çj y—y\ — ^ = ^\\

les formules (8) deviennent