I -+- 22 -f- 6 + 29 -h 6 -h I =65 solutions

Soient a, b, c trois coefficients consécutifs quelconques d'une équation algébrique à coefficients réels, dont toutes tes racines sont réelles; on demande de démontrer qu*il est impossible d^ avoir

^»»(26»— 3ac)«<a«(4c'— 3a^»«).

<SoLON Ghassiotis.)

SOLUTION

Par L*AuTEUR.

Soit d le coefficient qui vient après c. On a, d'après un théorème de Catalan,

(1) ' (arf — 6c)«— 4(6»— ac)(c»— M)<o ou, en ordonnant par rapport à d^

(2) a»t/ï-h2 6(2é>» — 3ac)rf-ha(4c»— 3a6«)<o.

Par hypothèse, Tes coefficients de l'équation proposée sont réels; le premier membre de l'inégalité (2) a donc des solu-

(96 ) lions réelles en d et jamais d'imaginaires, donc il est impossible que l'on ait

ft«(9-é>«— 3ac)î<a3(4cs — 3aô>). c. q. F. D.

QUESTIONS

2035. Soient ABC, A'B'C'deux triangles. Si les droites AV, BB', ce rencontrent respectivement les côtés BG, CA, AB du premier triangle en trois points situés sur une même droite, les droites qui joignent les sommets A', B', C du second triangle aux points de rencontre respectifs des côtés BC et B'C, CA et C'A', AB et A'B' concourent en un même point. (R. B.)

2036. Soient ABC un triangle, O et ï les centres des cercles circonscrit et inscrit à ce triangle, B' et C les milieux des côtés AC et AB. La droite symétrique de 01 par rapport à la droite B'C passe par le point de contact du cercle des neuf points du triangle ABC et du cercle inscrit à ce même triangle. (R. B.)

2037. Soit ABCD un tétraèdre orthocentrique dont l'orthocentre est H. Si un point M est tel que ses projections sur les plans des quatre faces du tétraèdre soient dans un même plan, ce plan partage le segment MH dans le rapport de i à 2.

(G. FONTENÉ.)