MARS
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PARIS, tiALITHIKif-VlLLAKS, IMPIUMEUlî-LlURAIHE
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l«ei mactLscritfi hqu iBiéréi ne sont pas r«Jidui
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La Rédaction.
SUR LA USB ENlQtATtOffUBS PROBLIMIS M lÉCANIQIlB;
Par m. HADAMARD.
Supposons qu'on ait, en appliquant un certain nombre des théorèmes généraux de la Dynamique, écrit, pour un problème déterminé de Mécanique rationnelle, des équations en nombre n égal à celui des paramètres qu'il s'agit d'exprimer en fonction du temps.
Ces équations sont-elles bien distinctes entre elles? sont-elles les équations du mouvement? Autrement dit, tout système de fonctions du lemps qui satisfera à ces équations représentera-t-il par cela même un mouvement possible du système, une solution du problème posé?
En fait, un peu d'attention suilit en général à reconnaître s'il en est ou non ainsi.
11 n'est peut-être pas inutile, cependant, de noter lus services que peut rendre à cet égard, dans l'enseignementy la remarque suivante, bien connue en ellemême :
On sait que toutes les équations de la Dynamique peuvent être considérées comme déduites de l'équation dite générale, celle qui résulte de la combinaison dli principe de d'Alembert avec celui des vitesses virtuelles.
Cette dernière équation représente, d'une façon entièrement adéquate, l'ensemble des conditions aux-
Ann. de Maihémat., 4« sériç, t. VI. (Mars 1906.) 7
(98) quelles doit satisfaire le mouvement : elle exprime la condition nécessaire et suffisante d^équilibre entre les forces réellement existantes et les forces d'inertie.
Toute équation du problème s'obtiendra en prenant, pour le déplacement virtuel qui figure dans Féquation générale, l'un quelconque de ceux qui sont compatibles avec les liaisons.
La réponse à notre question se dégage maintenant d'elle-même.
On peut, avant même de les avoir formées, reconnaître si n équations déterminées du problème sont distinctes et suffisent à caractériser le mouvement du système.
11 faut et il suffit, pour cela, que les déplacements virtuels auxquels elles correspondent soient eux-mêmes indépendants (et, par conséquent, susceptibles de reproduire par leurs combinaisons linéaires le déplacement virtuel le plus général possible).
Ces déplacements virtuels peuvent d'ailleurs toujours être indiqués a priori. On sait que :
de Lagrange relative à ■ Variation de ce para-
UD des paramètres. . I c I mètre seul.
g I des projections sur un i 'S £ .1 Translation parallèle à
*5 I axe I i- S 2 I cet axe.
2 < ) * ^ Ij \
o^j des moments par rap- | â! "o-.î: i Rotation autour de cet
*vj * \ *- "^ > ï
l^ I port a un axe I o tj i axe.
- . I S I Déplacement réel du
des forces vives ** 1 '^
système.
Considérons, par exemple, le mous^ement de Poinsot, c'est-à-dire le mouvement d'un solide autour d'un point fixe, en l'absence de forces accélératrices.
Les équations d'Euler seront toujours indépendantes. Car elles résultent de Tapplication du théorème des moments des quantités de mouvement aux trois
(99) 4xes d'inertie : or tout déplacement admissible du système se décompose en trois rotations autour de ces axes.
Il n^eii aurait pas été de même avec les équations de Lagrange relatives aux trois angles d'Euler 0, qp, ^. Car, lorsque Tangle 6 de Taxe des z fixe avec Taxe des z mobile est nul ou égal h ic, les déplacements dus a des variations infinitésimales de cp et de ^ ne sont plus indépendants : ils se réduisent à une seule et même rotation autour de la position commune des deux axes en question.
Soit encore le mouvement du pendule sphérique.
Les deux équations différentielles que Ton est conduit à écrire correspondent au théorème des aires et à celui des forces vives, c'est-à-dire à deux déplacements virtuels dont l'un est une rotation autour d'un axe vertical et l'autre le déplacement réel.
Le problème est ainsi correctement mis en équation dans le cas général.
Mais il cesse de l'être lorsque le mouvement instantané réel est une rotation autour de la verticale, c'est-
à-dire lorsque ^ = o, 0 étant Tangle de cette verticale avec la tige du pendule.
Une didficulté de ce genre intervient, comme on sait, dans les principaux problèmes classiques de Mécanique rationnelle. L'intégration se ramène, en général, à celle d'une équation différentielle de la forme
et une discussion spéciale est nécessaire lorsque la valeur commune des deux membres s'annule.
Ce qui précède montre qu'il en est forcément ainsi dès qu'on applique le théorème des forces vives. Ce
( »oo ) théorètne est, en effet, subsiilué à Tune des n équalions que Ton pourrait écrire sans son intervention (par exemple à Tune des n équations de Lagrange) : le déplacement réel est, dans ces conditions, substitué à un des n déplacements fondamentaux et les équations du problème sont en défaut lorsque ce déplacement réel est une combinaison des n — i autres déplacements utilisés.
On peut remarquer que Téquation des forces vives est, parmi les équations classiques, la seule qui puisse devenir insuffisante pour des déterminations spéciales des vitesses.
Les autres équations peuvent, elles aussi, être exceptionnellement en défaut (comme nous Tavous vu à propos du mouvement de Poinsot) ; mais, si le théorème des forces vives nMntervient pas, la mise en équation, si elle est correcte en général, ne peut cesser de l'être que pour des positions spéciales du système.
SUR UNB QUESTION Dl PROBABILITÉS;
Par m. a. DELTOUR.
1. Proposons-nous de chercher /a probabilité pour que, en tirant une à une, dans un ordre quelconque, les cartes d'un jeu ordinaire, il n'y ait jamais plus de deux cartes rouges consécutives, quelles que soient les séquences de noires.
On sait que le nombre des permutations complètes
de p objets  et de p objets B est ^^' >
Le problème revient donc à trouver le nombre de ces permutations dans lesquelles il n'y a pas plus de deux A consécutifs.
Le rapport des deux nombres donne la probabilité cherchée.
