Une représentation graphique aidera le raisonnement

 partir de Torigine de deux axes de coordonnées rectangulaires, je porte successivement les A en abscisseS) les B en ordonnées, à raison d'une unité pai* lettre et toujours dans le sens positif, en suivant l'ordre des lettres dans la permutation donnée.

On obtient ainsi un tracé {Jig* i) qui se terminera

Fig. I. — Tracé quelconque.

sur la bissectrice du premier quadrant, puisqu'il y a autant de A que de B, au point P(/;, p), et qui restera tout entier enfermé dans le carré ayant pour diagonale la partie de la bissectrice qui joint ce point à l'origine. Réciproquement tout tracé compris dans ce carré et satisfaisant aux conditions données représentera une des permutations dont il s'agit et le problème revient

â irouver le nombre des iracés possibles que je désignerai par Up.