CERTIFICATS D'ANALYSE ET DE GEOMETRIE INPINITÉSIMALB
Bordeaux.
Éprecvb bcutb. — Soient une sphère S de centre O et de rayon r, H u cylindre de révolution de rayon p <i r et
dont Vaxe Oz passe par le centre de la sphère. On considère sur le cylindre H les courbes dont les tangentes sont en même temps tangentes à la sphère S ; on exclut parmi ces courbes l'intersection de S et de H. Soient C l'une d'entre elles, M un point quelconque de G, et Q le point où, la tangente en M vient toucher la sphère S.
1° Démontrer que le plan osculateur en M. à la courbe G est tangent en Q à la sphère S.
a° Déterminer la surface développable R contenant la courbe G et telle qu'en tout point M de G le plan osculateur à cette courbe soit normal à la développabte R.
3° Montrer qu'en choisissant convenablement une ori" gine A sur la courbe C, l*aire cylindrique limitée par l'axe AM, par les génératrices A a, Mm et par la projection am de l'arc AM sur le plan xOy perpendiculaire à Os est proportionnelle à l'arc AM.
4° Soient w, (o' les centres du cercle osculateur et de la sphère osculatrice en M, montrer que le triangle Maxo' reste semblable à lui-même quand le point M se déplace sur la courbe G.
Épbeuvb pftATiQUB. — Soit le paraboloïde de révolution autour de Oz dont les coordonnées d'un point quelconque en fonction de deux param,ètres r et % sont
r* ip = /-cos0, j^=rsin6, z = — •
Étant donnés deux points Mo(ro, 6o), Mi(/'i, 6i) sur cette sur/ace, on considère sur le paraboloïde une courbe G joignant ces deux points et faisant avec les méridiens qu'elle rencontre un angle constant V.
Déterminer l'angle V en fonction de ro, 6o, ri, 6i.
(Juillet 1905.)
ÉpBBUYB ÉCRITE. — Énonccr et démontrer les théorèmes généraux sur la courbure des lignes tracées sur une surface et passant par un même point.
Épreuve pratique. — Calculer l'intégrale définie
v/tang'a:^.
(Novembre I9p5.)
QUESTIONS
2038. On mène les hauteurs AD, ï^E, CF du triangle ABC. Soit DiEiFi l'axe d'homologie des triangles ABG et DEP. Par El, Ff. Di on mène les parallèles à AB, BG, GA qui
coupent BC, CA, AB aux points I, H, K en ligne droite, el les parallèles à BG, GA, AB, qui coupent AB, BC, CA aux points Kl, II, Hi aussi en ligne droite. Soient Q et Qi les coniques circonscrites à ABC, et tangentes, la première à AI, BH, CK et la seconde à AIi, BHi, CKi.
I. Si par un point O de Q on mène les perpendiculaires à BC, CA, AB, elles coupent CA, AB, BC en fx, v, X, et l'on a la droite A(X|jlv). Ces mêmes perpendiculaires, menées par un point Oi de Qi, coupent AB, BC, CA aux points V|, Xi, ji», et l'on a la droite A(XifXiVi).
II. Les coniques Q, Qi et le cercle ABC ont un quatrième point commun a> auquel correspondent deux droites A, Ai et la droite At de Simson.
III. Si ABC est un triangle équilatéral, les coniques Q, Qi se superposent au cercle ABC, et à tout point> 0 de ce cercle correspondent trois droites A, Ai, Af. (P. Sondât.)
2039. Démontrer la relation
la première somme s'étendant à toutes les racines, supposées distinctes, de Téquation algébrique
/(ar) = o;
la deuxième somme s'étendant à toutes les racines, supposées distinctes, de l'équation
et la troisième somme s'étendant à toutes les racines, suppo* sées distinctes, de l'équation
/'(ar) = o.
Étendre la relation (i), en faisant intervenir les dérivées quatrième, cinquième, etc. du polynôme /(ar).
(Nicolas Kryloff.)
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Départements et Union postale 35 U\
TABLE DES MATIÈRES
Mars 1906.
Pages.
[ K 6 a] Sur la mise en équations des problèmy de mécanique
(/. Hadamard) / 97
[ J 2c] Sur une question de probabilités {A. Deltour) ioo
fM* Ib] Sur la construction des courbes algébriques (Pernot et
Moisson ) I or»
[L* 1 e] Sur la projection centrale (/. Juhel-Rénoy) lu^
[D6i p] Sur une inégalité de M. Hadamard (Landau) 1 3 »
Certificats de Calcul différentiel et intégral i4<»
Certificats d'Analyse et de Géométrie infinitésimale i i /
Questions (2038 et 2039) i43
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