I. — Géométrie plane

1. Étant donné un triangle ABC, le lieu d'un point M dont les projections sur les trois côtés du triangle sont en ligne droite est le cercle circonscrit au triangle {Simson),

Si H est Torthocentre du triangle, la droite de Simson du point M passe au milieu K de MH (Steiner),

Lorsque M décrit le cercle ABC, le lieu du point K est un cercle, homolliéLi(|ue au cercle ABC pour le

centre d'homothétie H et le rapport -; le cercle (|ui

s'introduit ainsi est le cercle des neuf points du triangle.

Ann* de Afathémat,, 4' série, t. VI. (Avril 1906.) lO

Les milieux des segments HA, HB, HG étanl A*^, B"', C, ce cercle est le lieu d'un point K dont les projections sur les côtés du triangle A'^B'^C'^ sont en ligue droite.

2. J'indiquerai encore pour le point M, relativement au triangle ABC, une construction que nous aurons l'occasion d'appliquer pour le point K, relativement au triangle hl'WC". Les symétriques du point M par rapport aux trois côtés du triangle, soient M|, Ma, M3 {fis- 0' ^^"^ ®"^ ^^^^ droite parallèle à la di*oile de

Fig. I.

Simson du point M et passant par le point H; nous appellerons cette droite la droite de Steiner du point M, et nous la désignerons par la lettre S. La droite 2 étanl donnée, il est facile de retrouver le point M. En effet, la droite S rencontre les côtés du triangle en trois points I, .2, 3, et les droites i M, 2M, 3M sont les symétriques de S par rapport k ces côtés ^ on peut construire ces droites symétriques, et par suite obtenir le point M, en joignant les points i, a, 3 aux points H|, Ha, Hs qui sont les symétriques de H par rapport aux côtés du triangle.

3. Théorème. — Soit un triangle ABC, et soient .V, B', C les milieux des côtés. On projette un point S en û, h, c sur les côtés du triangle; si l'on désigne par OL, p, Y les points d'intersection des côtés correspondants des deux triangles A'B'C et abc^ les trois droites «a, J^, cy concourent en un point K (*).

Appelons H' le centre du cercle ABC, ffui est en même temps l' orthocentre du triangle A'B'C : si le point S se déplace sur une droite o- passant par le point H', le point K reste fixe ; les milieux des segments HA, HB, HC étant M\ B", C'^ les projections du point K sur les côtés du triangle k!'W(J' sont en ligne droite, ou encore les symétriques du point K par rapport aux côtés de ce triangle, soient K'J , K.^ , K J , sont sur une droite S qui passe nécessairement en H ^ et cette droite S est perpendiculaire à la droite H' S ou a.

Il j a donc un lieu du point K, et ce lieu est le cercle des neuf points du triangle ABC.

Si Ton donne le point S, ou plutôt la droite H'S ou or, pour avoir le point K, on mène par H la droite S perpendiculaire à o- : cette droite S rencontre les côtés du triangle A^'B^'C^'aux points i", 2,\ 3^ si H';, H^, H; désignent les symétriques du point H par rapport aux côtés du triangle A"B''C", c'est-à-dire les pieds des

(*) Ce fait rentre dans on théorème général indiqué par M. Bricard {Nouvelles Annales, 1906, p. 96) :

Étant donnés deux triangles ABC, A'B'C, si les droites AA', BB', ce rencontrent respectivement les côtés a, 6, c du premier triangle en trois points situés sur une même droite, les points (a, a'), (A, 6'), {c^c') se joignent aux sommets A', B', C du second triangle par trois droites concourantes.

Pour le théorème du texte, les deux triangles sont le triangle A'B'C et le triangle pédal.

hauteurs du triangle ABC, la droite qui joint le point H'^ au point i", et les deux droites analogues, concourent au point K.

A. Quand on projette un point K sur les côtés d*un angle A'^ la droite déterminée par les projections de ce point est perpendiculaire à la droite inverse de la droite A'^K par rapport à l'angle; les droites inverses des droites A'^K, B''K, CK, par rapport aux angles A*^, B^', C? du triangle A"B"C'^ sont donc perpendiculaires à la droite S ou parallèles à la droite o-. On en conclut aisément ceci ; Les coordonnées du point K, rapporté au triangle k"WCy ^ sont inversement proportionnelles aux distances algébriques du point S aux axes menés par H' parallèlement aux côtés de ce triangle,