Si l'on suppose que /;, q^ r, 5 représentent des

( -56) coordonnées normales, on obtient

en posant

on a donc

Or, si Xoy yof ... sont les coordonnées normales du point H', on a

on a finalement

af(p — Xo)= y(ç—yo )=... =

C'est le résultat indiqué à la (in du n® 8, et duquel il résulte que le plan S est perpendiculaire à la droite 9.

( Si les dièdres du tétraèdre ABCD sont aigus,

BG comme on a par exem|)le a^= -^i les quantités a, p,

y, S sont des imaginaires pures; si l'on pose a=a'«, P 1= P'i, . . . , on a

fL - A - - / - ^' a'* ~ B't i'

et les égalités relatives à Xo,yo^ ••• deviennent

Note. — Revenons à la Géométrie plane.

a. Soit û le milieu commun des segments A'A'^, B'B'', ce. La droite de Steiner du point K par rap-

( '57 ) port au triangle A.'B'C étant la droite S^ si K' est le symétrique de K par rapport à û, la droite de Steiner du point K' par rapport au triangle A'B'Cest la parallèle à S menée par H'; comme K' et K sont diamétralement opposés sur le cercle A'B'C, la droite de Steiner du point K par rapport au triangle A'B'C est perpendiculaire à celle du point K', et se confond par suite av^ec la droite o*. Donc, si l'on se donne la droite o", en traçant les droites symétriques de celle-là par rapport aux côtés du triangle A'B'C (ce qui peut se faire en joignant les points i', 2', 3' où la droite ocoupe les côtés de ce triangle aux points H'^, H^, H^ qui sont les symétriques de H' par rapport aux côtés de ce même triangle), on aura trois droites qui iront concourir au point K. Cette propriété de la droite a* n'est d'ailleurs pas susceptible d'extension à l'espace : il y a entre les deux droites a* et S cette différence essentielle, au point de vue de l'extension à l'espace, que la droite S a pour analogue un plan S, tandis que la droite a- a pour analogue une droite (t.

La propriété de la droite a- qui vient d'être indiquée a été signalée par M. Bricard, dans une Note où il a établi géométriquement le théorème plan dont j'avais donné une démonstration analytique, et avant que j'eusse rencontré de mon côté la propriété du plan S.

b. Soit Si le point inverse du point S par rapport au triangle ABC. Les deux points S et S{ ont même cercle pédal, et celui-ci rencontie le cercle des neuf points en deux points K et K|, qui sont précisément le point K relatif à la droite H' S et le point K| relatif à la droite H'S|. Lorsque la droite SS| passe en H', les deux points K et Ki se confondent, et le cercle pédal est tangent en K au cercle des neuf points. Plus par-

( >58 ) ticnlièrement, sî S et S^ se confondent avec le centre I d'un cercle tangent aux trois côtés du triangle, le cercli; pédal est précisément ce cercle, qui est ainsi tangent au cercle des neuf points.

Etant donné un triangle ABC dont les hauteurs AD, BE, CF 5e coupent en H, soient A", B''', C" les milieux des segments HA, HB, HC; si O et I sont les centres du cercle circonscrit et du cercle inscrit, la perpendiculaire menée par H à la droite OI rencontre les côtés du triangle A^&'C" en trois points X, Y, Z, et les droites DX, EYJ FZ concourent en un point qui est le point de contact du cercle inscrit avec le cercle des neuf points.

Ou encore (construction de M. Bricard, quest. 2036) :

Les milieux des côtés du triangle ABC étant A', B', C, la droite 01 rencontre les côtés du triangle A'B'C en des points U, V, W, et siO^^ Oj, O3 sont les symétriques de O par rapport aux côtés de ce triangle, les droites OiU, 0|V, 0|W concourent en un point qui est le point de contact du cercle inscrit avec le cercle des neuf points.

Si le cercle d«s neuf points est supposé tracé, comme D et Oi sont sur ce cercle, on aura sans ambignïlé le point cherché en traçant seulement la droite DX, ou la droite 0,U.

(Le lieu des points inverses S et S| tels que la droite SS, passe au centre H' du cercle ABC est une cubique circonscrite au triangle ABC et passant en H' : toute droite passant par H' est encore rencontrée par la cubique en deux points inverses; le point inverse de A est sur BC, ...; le point inverse de H' est Tor-

( '59) tlioceiitre H, de sorte que la tangente en H' passe en H; les quatre tangentes qne Pou peut mener de H' à la cubique ont pour points de contact les centres I, F, Vy V' des cercles tangents aux trois côtés du triangle. Aux points à Tinfini sur la cubique, S, S', S^, et à leurs inverses, S|, S'^, S^, coi respondent trois droites de Siinson tangentes au cercle des neuf points : ce sont les tangentes aux points de contact de ce cercle avec riiypocjcloïde à trois rebroussera en ts qui est Tenveloppe des droites de Sinison relatives au triangle ÂBC.)

suit LA GÉOMÉTRIE DE DIRECTION;

Par m. R. BRïGARD.

1. Laguerre parait avoir le premier introduit en Géométrie plane l'élude systématique des droites dirigées on semi-droites, des cercles dirigés ou C) des. Il a fait connaître une transformation fort intéressante, la transjormntion par senti-droites réciproques, qui joue, dans la Géométrie de direction, un rôle analogue â celui que joue Tinversion dans la Géométrie ordinaire»

Les recherches de Laguerre ont été publiées dans plusieurs Mémoires, parus dans les Comptes rendus de V Académie des Sciences, dans le Bulletin de la Société, mathématif/ue de France et dans les Nouvelles jinnales (*).

(*) En voici la liste complète -.

Sur la Géométrie de direction {S. M., 1879, P- ^'f OEuvres, p. 59a).

Plusieurs de ces travaux, surtout ceux qui sont relatifs aux in-incipes de la théorie, ne contiennent que des résultats sans démonstration; en outre, ici comme en d'autres occasions, Lagucrre n'a certainement pas mis en lumière ses idées directrices, et son exposition prend de ce fait un caractère artificiel qui rend la lecture de ces Mémoires un peu difficile.

Il est assez vraisemblable que l'éminent géomètre a été conduit à plusieurs des notions qu'il a introduites danâ la Géométrie de direction, et particulièrement à sa transformation par semi-droites réciproques (*), par des considérations de Géométrie dans Tespace. Je vais, du moins, chercher à montrer comment de telles considérations < onduiseut de la façon la plus naturelle à cette transformation, dont Laguerre n'a pas révélé l'origine.

2. Soit (P) un plan que je supposerai horizontal, de manière à pouvoir parler des régions de Tespace qui

6'ur la transformation par directions réciproques {C. B., 1881; Œuvres, p. 6o\).

Transformations par semi-droites réciproques (A'. A., 1882; Œuvres, p. 608).

Sur les hypercycles ( C. /?., 1882; Œuvres, p. 620).

Sur les anticaustiques par réflexion de la parabole, les rayons incidents étant parallèles {N. A., i883; Œuvres, p. *)36),

Sur quelques propriétés des cycles {N. A., i883; Œuvres, p. 65i).

Sur les courbes de direction de la troisième classe {N. A., i883; Œuvres, p. 660).

Su/' r application des intégrales elliptiques et ultra-elliptiques à la théorie des courbes unicursales (C B., i883; Œuvres, p. 671).

Sur les anticaustiques par réfraction de la parabole, les iHiyons incidents étant perpendiculaires à l'axe {JV. A., i885; Œuvres, p. 675).

( *) Ou plutôt à ses transformations, car il y en a deux très distinctes, comme on le verra plus loin.

{ i6. ) sont l'une au-dessus, l'autre au-dessous du plan. Soit 8 une semi-droite du plan (P), c'est-a-dire une droite à la(|uelle on attribue un sens. Par S je puis faire passer deux plans, (D) et (D'), faisant tous deux des angles de 45*^ (*) avec le plan (P).

Imaginons maintenant un observateur, debout. sur le plan (P) et se déplaçant suivant S, dans le sens de cette semi -droite. L'un des deux plans (D) et (D') fait avec le plan (P) un dièdre aigu situé à la gauche de l'observateur dont il s'agit. Je ferai correspondre ce plan à la semi-droite 8.

Je ferai donc ainsi correspondre, à toute semi-droite du plan (P), un plan faisant un angle de 45** avec le premier, et parfaitement déterminé.

Réciproquement, il est éi^ident qu'à tout plan (D) faisant un angle de 45® avec le plan (P) correspond une semi-droite parfaitement déterminée S, portée par la trace du plan (D) sur le plan (P).

Je dirai que le plan (P) est représentatif de la semidroiie S.

Considérons maintenant un cycle F du plan (P), c'est-à-dire un cercle auquel on attache un sens. Par F passent deux roues de révolution (G) et (G'), ayant tous deux un angle au sommet de 90®. i/un de ces cônes a son sommet au-dessus du plan (P), l'autre a son sommet au-dessous de ce plan. Je ferai correS" pondre à V te premier de ces cônes, si V est siuistrorsum, c'est-à-dire si le sens de F est contraire à celui des aiguilles d 'une montre, et le second de ces cônes, dans le cas contraire. Réciproquement, à tout cône de

(*) Cet angle de ^5* n'est introduit que pour fixer les idées; je pourrais le remplacer par un angle quelconque non droit,

Ann, de Mathémat., 4* série, l. VI. (Avril 1906.) il

( >62) iVîvolnlloii (G), avant un angle an somniel de 90** vX son axe vertical, correspond un cycle parfaitement déterminé, porté par la trace du cône sur le plan (P). Ce cycle est sinistrorsum, si (G) a son sommet au-dessus (lu plan (P), et (lexirorstnn dans le cas contraire. Je. dirai (jue (G) est le cône représentatif A\x cycle F.

Cela posé, soient 8 une semi-droite et F un cycle du plan (P). On dil que 8 touche F, si la droite qui porte 8 touche le cercle qui porte F, et si, en outre, les éléments eu contact du cercle et de la droite ont le même sens. On voit très aisément que la condition nécessaire et suffisante pour que 8 touche F est que le plan (D), représentatif de 8, soit tangent au cône (G), représentatif de T.

Remarquons enfin que tous les plans (D) sont tangents à un même cercle C situé dans le plan de l'infini, ayant pour équations en coordonnées rectangulaires homogènes (on suppose Ox et Ojr dans le plan P)

« = o, x^-hy^ — z^ = o.

Tous les cônes (G) sont les cônes du second ordre qui contiennent ce cercle C. On peut donc ainsi résumer les (considérations qui précèdent :

^ toute semi-droite du plan (P) correspond d'une manière utwoque un plan qui touche C; à tout cjcle du plan [9) correspond, d'une manière u/iiv'oq (te, un cône du second ordre contenant C. Utie semi-droite et un cycle sont tangents entre eux si le plan et le cône correspondants sont tangents entre eux.

3. II est maintenant avantageux (mais non essentiel) d'avoir recours à une tran.sformation par polaires réci-

( '63) proques, avant pour hase la sphère dont l 'équation est

dans le système de coordonnées précédemment défini. Le cercle C a pour transformé le cône (C) dont l'équation est

Tout plan (D) a pour pôle un point d du cône (C); tout cône (G) a pour transformé une conique G tracée sur le cône (C).

Par suite :

Les semi-droites et les cycles du plan (P) correspondent d'une façon nnivoque aux points du cône (C) et aux coniques tracées sur ce cône Je dirai qu'un point du cône est représentatif d'une senii -droite et qu'une conique tracée sur le cône est représentative d'un cycle.

La Géométrie de direction dans le plan (P) se trouve ainsi ramenée à Tétude des figures tracées sur le cône (C).

On se rend compte immédiatement des propositions suivantes :

Une semi-droite et son opposée, c'est-à-dire la seconde semi-droite portée par la même droite, ont en général des points représentatifs distincts, symétrûfues par rapport au plan (P), Il n'y a d'exception que pour les semi-droites isotropes : une telle semidroite et son opposée ont le même point représentatif situé sur l'une des génératrices isotropes du cône (C).

En particulier, la droite de l'infini du plan (P) n'a quun point représentatif, qui est le sommet du cône (C).

Si une semi-droite 2 enveloppe un cycle F, son point

représentatif d décrit la conique G, représentative du cycle r.

Il y a d'ailleurs correspondance homo graphique entre le point d, mobile sur G, et la semi-droite 8, tangente mobile de F.

Dans le cas où. le cycle F a son rayon nul, c'està-dire si la semi-droite 8 passe par un point fixe, la conique G est située dans un plan vertical.

Si plusieurs semi-droites sont parallèles^ leurs points représentatifs sont situés sur une même génératrice du c6ne{C).

Le faisceau constitué par des semi-droites parallèles et la ponctuelle constituée par leurs points représentatifs se correspondent homographiquement.

On voit enfin que, élant définie une transforma lion poncluelle quelconque du cône (G) en lui-même, on peul en dëduire une transformation qui établit une correspondance entre les semi-droites du plan (P).

Parmi les transformations de cette nature, les plus intéressantes sont les transformations par semi-droites réciproques. Pour y arriver, il est nécessaire d'étudier tout (Tabord les transformations homo graphiques inv^olutii^es du cône (C) en lui-même,

4. Transformations homo graphiques involutives du cône (C) en lui-même. — Une transformation liomographique générale de l'espace dépend de i5 paramètres. Si l'on cherche à déterminer cette transformation de telle manière qu'elle change le cône (G) en lui-même, on l'assujettit à 8 conditions. II existe donc 00^ transformations homographjques jouissant de la propriété énoncée. Une telle transformation change les points et les coniques du cône (G) en éléments de

( .65 ) même nom. Considérons inaînlenant ces points et ces coniques comme représentatifs des semi-droites et des cycles du plan (P). On voit ainsi que Ton peut définir, dans le plan (P), oo^ transformations qui changent les semi-droites en semi-droites et les cycles en cycles.

Je réserve, pour une autre occasion, Tétude de ces transformations générales. Je me contenterai d'étudier ici celles d'entre elles qui présentent un caractère involutif.

Pour les définir, je rappelle qu'il existe dans l'espace deux espèces de transformations homographiques involutives :

i® Vhomologie ins^olutwe, définie par un point [sommet de Vhomologie) el un plan [plan de base de Vhomologie)\ deux points correspondants sont en ligne droite avec le sommet; de plus, les deux points divisent harmoniquemenl le segment limité par la trace sur le plan de base de la droite qui les joint el par le sommet.

L'homologie involutive a une infinité de points doubles : ce sont le sommet et tous les points du plan de base.

2** Uhomographie axiale involutive, définie par deux droites qui ne se rencontrent pas (axes de l^ homographie); deux points correspondants sont tels que la droite qui les joint rencontre les deux axes; de plus, les deux points divisent harmoniquement le segment limité par les deux points de rencontre de la droite qui les joint et des axes.

L'homographie axiale involutive a une infinité de points doubles : ce sont les points des deux axes.

Examinons à présent dans quels cas l'une de ces homographies peut transformer un cône du second ordre

( «66) 1° Cas de l'homologie im^olutiue, — Le sommet du cône devant se correspondre à lui-même doit être au point double de Thomologie. Il y a deux cas à distinguer:

(a). Le sommet du cône est au sommet de l*homologie; il est bien clair alors que, quelles que soient les autres conditions qui dé(inissent la transformation, le cône est transformé en lui-même-,

(i). Le sommet du cône est dans le plan de bcue de Uhomologie; alors, le sommet S de l'homologie est en dehors du cône, et il est visible que le plan de base doit être le plan polaire du point S par rapport au cône. Réciproquement, toute homologie involutive ayant pour sommet un point quelconque de Tespace et pour plan de base le plan polaire de ce point par rapport au cône transforme le cône en lui-même.

2** (c). Cas de l'homographie nxiale involutwe. — Le sommet du tône doit être sur l'un des axes, et les deux axes sont évidemment des droites conjuguées par rapport au cône. Réciproquement, toute homographie axiale involutive, dont les axes sont conjugués par rapport au cône, transforme le cône en lui-même.

Il y a donc trois espèces bien distinctes de transformations homographiques involutives qui transforment un cône en lui-même. Les deux premières, (a) et (i), dépendent de trois paramètres; la troisième, (c), dépend de quatre paramètres.

Dans les transformations (a) et (6), il existe une infinité de points doubles, le sommet du cône et tous les points de la ligne commune au cône et au plan de base de rhomologie. Cette ligne est une conique dans la transformation (a), un système de deux génératrices dans la transformation (6).

Dans ia transformation (c), il n'y u que trois points doubles, qui sont les points où le cône est rencontré par les axes de rhoinographie, deux de ces points étant confondus an sommet du cône.

o. Transformations par semi- droites réciproques. — Examinons successivement les transformations par semi-droites du plan (P), qni sont figurées par les transformations (a), (i), (c) délînies précédemment.

Nous désignerons ces nonvelles transformations respectivement par (a), (P) et (y).

Transformation (a). — U existe sur le cône (C), dans la transformation {a)y une conique G qui se correspond à elle-même. Donc, dans la transformation (a), il existe un cycle Y qui se correspond à lui-même.

Soient m, m' deux points du cône (C) conjugués dans la transformation [a). Ils sont sur une même génératrice du cône, et, si Ton appelle O le sommta du cône, p le point où mm' rencontre la conique G, les points m et m' divisent harmoniquenient le segment Op. En appliquant les remarques faites à la fin du n^ 3, on voit immédiatement que :

Si l'on appelle p. et p.' deux semi-droites se correspondant dans la transjormation (a), ces semi-droites sont parallèles et, de plus, la semi-droite js parallèle à [k et [k' et équidistante de ces deux semi-droites touche le cycle F.

La transformation (a) est ainsi délinie sans ambiguïté par le cycle F.

Construisons {fig> i) la semi-droite pi", parallèle à p.', et telle que le point co, centre de F, soit éqnidistant de |Ji et de pi". On voit tout de suite que la droite p."

est à gauche ou à droïte'dn [jl, suivant que le cycle T est sinistrorsum ou dextrorswn, et que la dislaiice de a à fjL*' est égale au double du rajou du cycle F.

On peut donc passer de [jl à [jl' en construisant (jl", parallèle à a, de même sens et d'un côté délerininé de

Fig. I.

cette semi-droile, puis en construisant p.', symétrique, en position, de u'' par rapport à (o et de même sens.

Autrement dit, la transformation (a) n'est qu'une combinaison de deux transformations bien connues : la transformation parallèle ou dilatation et la symétrie par rapport à un point.

Transformation (P). — Dans la transformation (A), deux points conjugués m et m' sont en ligne droite avec un point fixe s de l'espace. Soient [x'et y! les semi-droites du plan (P) correspondant à m et m' \ (M) et (M') leurs plans représentatifs. Ces plans, qui sont les plans polaires des points m et m' par rapport

à la sphère

«*-i->^* + ^* = lî

se coupent suivant une droite qui appartient au plan (S), plan polaire du point s par rapport à la même sphère. Donc les semi-droites [x et |ji', qui sont les traces des plans (M) et (M') sur le plan (P'), se coupent sur la droite S, trace du plan (S) sur le plan (P). Ainsi :

V ^^9 ) Deux semi-droites \k et |jl', se correspondant dans la transformation (p), se coupent sur une droite fixe S.

Soient, en second lieu, deux couples de points du cône (C) (w, m'), (w, «'), conjugués dans la iransfor-

Diation {b). Les points m, m', /i, n' étant dans un même plan sont sur une même conique du cône (C). Par suite :

Quatre semi-droites [ji, ja', v, V, conjuguées deux à deux dans la transformation (^), sont tangentes à un même cjrcle.

Il suffit dès lors, pour définir la transformation (^), de se donner la droite S et un couple de semi-droites conjuguées, |jl et fx', se coupant sur la droite S. Pour construire la semi-droite conjuguée d'une semi-droite quelconque v, on construira le cycle qui touche p., [jl' et V et, par le point où v coupe S, on mènera la seconde droite v' qui touche ce cycle {fig. 2).

On vérifie bien que la transformation (^) dépend de trois paramètres : il faut, en effet, pour la définir se donner la droite S (deux paramètres) et la semi-droite conjuguée d'une droite donnée (un seul paramètre, puisque celte conjuguée est assujettie à passer par un point connu).

( >7o) On vérifie facilement aus.sî quMI existe dans la transformation (P) une infinité de droites doubles, parallèles à Tune ou Tautre de deux directions fîxes : on les obtient de la manière suivante :

Soient /r et / les points de rencontre de S et d'un cycle quelconque qui touche pi et [jl' : i(?s tangentes à ce cycle aux points A et / sont des semi-droites de directions bien déterminées :

Toute semi-droite parallèle à l'une ou l'autre de ces tangentes se confond auec sa conjuguée dans la transformation (P).

Ce fait concorde bien avec celui qu'il existe, dans la transformation (b) définie sur le cône (C), une infinité de points doubles répartis sur deux génératrices.

Transformation (y). — Soient m, m' deux points du cône (C), conjugués dans la transformation (c). La droite mm' rencontie, comme on Va vu, deux droites A et B, conjuguées par rapport au cône. L'une d'elles, A, passe par le sommet du cône 5 l'autre le rencontre en deux points a et £ qui sont des points doubles de la transformation. Il en résulte que les points a, A, m, m' sont sur une même conique du cône (C), et que, sur celte conique, les points m et m' sont conjugués harmoniques par rapport aux points a cl b.

On conclut immédiatement de là que :

Dans fa transformation (y) il existe deux semidroites doubles a et ^. Si (x et |jl' sont deux semi-droites conjuguées quelconques, les semi-droites a, P, fx, \fJ sont tangentes à un même cycle, et de plus les tangentes u. et [jl' sont conjuguées harmoniques par rapport aux tangentes a e/ p.

La transformation est ainsi définie par ses deux semidroites doubles a et ^ (quatre paramètres). Pour construire la semiwlroite p.', conjuguée d^uno semi-droite donnée |jl, on opérera de la manière suivante : on construira {Jig* 3) le cycle qui touche a, ^ et (jl et Ton

joindra le point de contact de |jl au point de rencontre de a et de p. Cette droite rencontre le cycle en un second point; en menant en ce point la tangente au cycle, on obtient la semi-droite cherchée pi'.

La transformation définie par Laguerre dans le premier des Mémoires énumérés au début de ce travail est la transformation (p). Vers la fin du Mémoire, on lit la Note suivante (p. 60 1 des Œuvres) :

Depuis que cette Note a été communiquée à la Société, j'ai reconnu qu'il était utile de modifier légèrement la définition précédente de la transformation par directions réciproques ('); je développerai ce point dans une prochaine Communication.

En effet, dans lous ses travaux ultérieurs, Laguerre

(*) Laguerre n'a adopté que plus tard rexpression de semidroite; il disait alors ; direction.

( »72 ) a utilisé exclusivement la Iransforinatioii (^); mais, chose assez singulière, sans plus jamais parler des différences qui la séparent de la transformation (y), considérée en premier, et qui sont plus que des « modifications légères ». [Je rappelle que la transformation (y) dépend de quatre paramètres, et la transformation (^) de trois seulement; que la transformation (y) n'a que deux semi-droites doubles et la transformation (^) une infinité.]

Laguerre n'a pas signalé la transformation (a).

6. Il n'entre pas dans le plan de ce travail de pousser à fond I*étude des transformations par semi-droites réciproques : ce serait, la plupart du temps, répéter inutilement ce qu'a déjà dit Laguerre. J'examinerai seulement le problème suivant, que Laguerre a passé sous silence, malgré son importance qui me parait fondamentale :

Une semi-droite |jl varie en resiant tangente à une courbe donnée; la semi-r/roite |x', conjuguée de [jl dans l'une des transformations (a), (p), (y), enveloppe une courbe qui est la transformée de la première. Comment construire le point de contact q' de [jl' avec son enveloppe, connaissant le point analogue ^, relatif à la semi' droite |jl?

Il est clair tout d'abord que, la transformation envisagée étant de contact, le point q^ ne dépend que du point q, et nullement de la nature de l'enveloppe de la droite |x.

Nous pouvons donc imaginer {/ig- 4) qwc l'enveloppe de [JL est le cycle bien déterminé F, qui louche |jl' et |JL, cette dernière semi-droite au point q. Le transformé r' de r touchera aussi [x et a', cette dernière

( «73 ) droite au point cherché q'. Appelons r le point où le cycle r' louche la semi-droite |x.

La Irausfoi'inalion considérée élanl involulive, si Ton fait variei* le point ^, ce point et le point r vont engendrer une iiivoiution sur la semi-droite [jl. Remar-

quons en outre que, si le cycle F s'éloiguc à Tinfini, il en est de même du cycle F' : donc le point q et le point r engendrent sur la semi-droite (x une insolation dont un point double est rejeté à Vinjini.

Or il existe sur une droite deux espèces d*involution de celte nature : V insolation identique, qui fait se correspondre un point à lui-même, et la symétrie, dans laquelle deux points conjugués sont symétriques par rapport à un point fixe de la droite. C'est Tune ou l'autre de ces in vol u lions qui entre en jeu, suivant que Ton a aOaire à la transformation (a), (^) ou (y). Je laisse de côté la transformation (a), pour les raisons données plus haut. Disons seulement que l'involution à laquelle elle donne lieu est une symétrie; on le voit immédiatement.

Dans le cas de la transformation (^), tout cycle tangent à |JL et |jl' se transforme en lui-même. Ou a donc ici une insolation identique.

Dans le cas de la transformation (y)) un cycle tan-

( »74) geiU à |JL et yJ ne se transforme en Inî-méine que s'il est aussi tangent aux droites doubles a et a'. On trouve donc une svinétrîe dont le centre est le point A; de ia figure 3.

De la relation entre les points q et r, on passe ioiinédiatement à la relation entre les points ^ et ^'. On parvient ainsi aux constructions suivantes, que l'on peut énoncer d*une façon précise, en remarquant qu*un segment d^origine et d'extrémité données, porté par une semi-droite donnée, est bien défini en grandeur et en signe :

Dans le cas de la transformation {^)^sî l'on désigne

par l le point de rencontre des semi-droites [x et fx', on

a la relation

Iq- Iq.

Dans Le cas de la transformation (y), sillon désigne par h et h' les points de contact respectifs des semidroites (x et |x' avec le cycle qui les touche ainsi que les semi-droites doubles de la transformation, on a

k'q'=kq.

On déduit immédiatement de là le théorème fondamental suivant, donné par Laguerre :

Soient C ef C| deux courbes, [jl une semi-droite qui les touche respectiv^ement aux points q et ^4, C, C, , |jl', q' j q\ les éléments qui leur correspondent respectiv^ement dans une transformation (j3) ou (y).

On a, dans le cas de la transformation (P),

et y dans le cas de la transformation (y), q'q\ = qqx.

( 175 ) Autrement dit, la distance tangentielle de deux courbes est, en grandeur et en signe, un invariant pour la traiisfornialîon (y) ; la valeur absolue de cette distance tangentielle est un invariant pour la transformation (p).

7. jFfypercj'cles. — Plusieurs des travaux que Laguerre a publiés sur la Géométrie de direction sont relatifs à des courbes qu'il a nonniioes hypercycles.

Rappellerai hypercycle général la courbe enveloppe des semi-droites du plan (P) qui ont pour points représentatifs les points d'une biquadratique gauche tracée sur le cône (C).

Autrement dit, un hyperc}^cle général v.sl la trace, sur le plan (P), de la développable circonsci-ite au cercle C et à une quadrique quelconque. On voit que l'hypercycle général est une courbe de quatrième classe, de genre «/i, dépendant de huit paramètre!».

Dans le cas où la biquadratique représentative de riiypercycle général passe pai- le sommet du cône, l'hypercycle devient unîcursal. Ce sont les hypercycles de cette nature que Laguerre a exclusivement considérés.

Il est clair que les propriétés dcîs biquadra tiques permettent d^énoncer de nombreux théorèmes relatifs aux hy|)ercycles généraux. Je me contenterai, pour ne pas allonger ce travail outre mesure, de donner à ce sujet quelques indications rapides.

Je désignerai par X riiypercycli; (en supprimant, pour plus de brièveté, le mot général) et par U sa biquadratique représentative.

On peut exprimer les coordonnées d'un point de U en fonctions elliptiques d'un paramètre, de telle manière que les arguments de quatre points de U situés

( '76) dans un même plan aient une somme nulle. Par suite :

On peut faire correspondre aux semi-droites tangénies à X des arguments elliptiques, tels que, si quatre tangentes ont des arguments dont la somme est nulle, ces quatre semi-droites sont tangentes à un même cycle.

Considérons maintenant les involulions de points sur la biquadralique U. On sait qu'il y en a de deux espèces. Dans une involutioti de la première espèce, deux points conjugués ont des arguments de somme Constantin et d'ailleurs quelconque; dans une involution de la deuxième espèce, deux points conjugués ont des arguments dont la différence est l'une des trois demipériodes (0|, 0)2, 0}j.

Les involutions de la première espèce ne semblent conduire à un résultat intéressant que dans le cas où la somme constante des arguments est o, (0|, a)^ ou co^. Les points conjugués de U sont alors alignés sur le sommet de l'un des quatre cônes qui contiennent cette courbe, y compris le cône (C). On en conclul que :

Uhypercycle T sa correspond à lui-même dans une transformation (ol) et dans trois transformations (P).

Le premier de ces résultats peut encore s'énoncer ainsi :

La semi-droite parallèle à deux tangentes parallèles de Vhjpercycle et équidistante de ces deux tangentes enveloppe un cjcle.

Théorème dont la démonstration directe est d'aill(?urs immédiate.

Dans une involution de la deuxième espèce, deux points conjugués m et m' de U ont pour arguments

( «77 ) respectifs a et a + (i>{, par exemple. La droite qui les joint reucontre, comme Ton sait, la droite qui joint le sommet du cône (G) au sommet de l'un des autres cônes passant par U, et aussi la droite qui joint les sommets des deux autres cônes. Ces deux droites sont d'ailleurs conjuguées par rapport au cône (G). Par suite :

UhjrpercycleX se correspond à lui même dans trois transformations (y).

Plus généralement, l'une quelconque des transformations (a), (i), (c) transforme U en une courbe de même nature. Donc :

Toute transformation (a), (P) ou (y) change un hjpercj'cle en un autre hypercycle.

Le premier de ces résultats peut encore s'énoncer ainsi :

Tonte courbe parallèle à un hypercycle est un hypercycle.

Terminons ce paragraphe en montrant que Ton peut choisir la transformation j(^) (*) de manière à transformer r en une conique.

Il va sans dire que la transformation ne peut être birationnelle : il faut entendre que les semi-droites tangentes à X sont transformées, deux à deux, en les semi-droites opposées portées par une même tangente à une conique.

-^ U faut montrer qu'on peut choisir une bomologie involutive (&), de telle manière qu'à la biquadratique U

(*) La même chose poarrait se dire de la transformation (y). On trouverait môme une infinité de transformations de cette nature satisfaisant à la condition énoncée.

Ann, de Mathemat,, 4* série, t. VI. (Avril 1906.) 12

( ,78 ) elle fasse correspondre uoe biquadratique U', ayant le plan (P) comme plan de symétrie. Autrement dit, soit 5 le sommet d'un cône autre que (C), contenant U. Il faut déterminer l'homologie involutive (b) de telle manière qu^elle transforme le point s en le point rejeté à Tintini dans la direction de la verticale.

Menons la verticale du point s; elle rencontre le cône (C) aux points i et k. Le centre de l'homologie cherchée doit évidemment se trouver en un point o) de cette droite et, si p est le point où le plan de base de Tbomologie rencontre la même droite, les points i et k d^une part, s et le point à Tinfini de ik de l'autre, doivent diviser harmoniquement le segment ^P {fis- 5).

Fig. 5.

Donc (i> est Tun des points doubles de Tinvolution déterminée sur la droite ik par les couples (i, Ar), (j, oo), et Ton obtient le point o) en prenant sur cette droite

stsy r=^± ^si.sk.

Ainsi, à chacun des cônes autres que (C) qui contiennent la biquadratique U correspondent deux homologies involutives satisfaisant à la condition énoncée. Ou peut donc énoncer finalement le résultat suivant :

Un hjpercycle est, de six manières différentes.

( «79 ) le transformé d'une conique par une transformation (P) (<).

8. Dans ce travail j'ai raUaché la géométrie de direction à la géométrie sur un cône du second ordre. En soumettant ce cône à une transformation par polaires réciproques, on rattachera la géométrie de direction à la géométrie autour d'une conique.

Les résultats prennent une forme particulièrement frappante si Ton suppose que cette conique est Vombilicale. On peut ainsi faire dériver des similitudes de l'espace les transformations par semi-droites qui changent les cycles en cycles. En particulier, les transformations (a), (P)y (y) se rattachent aux transformations involutives de l'espace qui n'altëreut pas la grandeur des figures, et qui sont : la symétrie par rapporta un point, la symétrie par rapport à un plan, la symétrie par rapport à une droite.

Je reviendrai prochainement sur ce sujet et sur les transformations analogues de l'espace qui se rattachent aux similitudes de l'espace à quatre dimensions. Je montrerai en particulier qu'il existe dans l'espace quatre transformations par semi-plans réciproques, dérivant des quatre transformations involutives de l'espace à quatre dimensions, qui n'altèrent pas la grandeur des figures (symétrie par rapport à un point, un plan^ une droite, un espace). Laguerre n'a fait connaître que la dernière de ces transformations (^).

( ' ) Un passage du Mémoire Sur les courbes de direction de la troisième classe {Œuvres, p. 667) établit clairement que Laguerre rattachait Thypercycle à la développable circonscrite à deux quadriques. Mais il ne parait s'être attaché qu'au cas où cette développable est unicursale.

(') Dans un article inséré au Bulletin des Sciences mathématiques {}d^n\'\tT 1906, p. 19), M. Butin a déjà rattaché la transformation de Laguerre à la symétrie par rapport à un espace linéaire (ou un plan, comme s\ xprinie M. Butin ) dans l'espace à quatre dimensions.

SDR LA SURFACE LIEU DBS CENTRES DE COURBURE DBS COURBES DTNE SURFACE PASSANT PAR UN POI\T DE CETTE SURFACE;

Par m. Jacques-Jean GHAPELON, Élève à l'École Polytechnique.

D'après le théorème de Meusnler, si l'on considère les courbes d'une surface 2, passant par un point A de cette surface et tangentes à une tangente D à la surface au point A, le lieu de leurs centres de courbure est une circonférence, tangente en A à la surface et située dans un plan perpendiculaire à la droite D, de sorte que, lorsqu'on fait varier la droite D dans le plan tangent, le lieu des centres de courbure des courbes de la surface 2 passant en A est une surface S engendrée par des cercles.

Le but de celte Note est de faire lounaitre la propriété suivante de cette surface :

La transformée par immersion de S par rapport au point A pris comme pôle est un conoïde de PlUcker.

Le conoïde de Pliicker, que Ton appelle souvent aussi cylindroïde, peut être engendré de la manière suivante :

Considérons deux droites X, Y, rectangulaires, et leur perpendiculaire commune A {fig* i). Par A, faisons passer un plan quelconque P que l'on prendra

( 'Si ) comme plan din^cteur d'un paraboloïde passant par X el Y. Ce paraboloïde ayant évidemment ses deux plans directeurs rectangulaires est isoscèle, et Tune des génératrices Z, de même système (]ue X et Y, est perpendiculaire au plan P. Lorsque ce pian P varie, le lieu

Fig. 1.

de Z est un conoïde de Plûcker. Remarquons en passant que X et Y appartiennent au conoïde : il sufBt pour le voir de prendre le plan P perpendiculaire à X, puis à Y; remarquons encore que la droite Z, étant perpendiculaire à toutes les génératrices du système A, est ligne de striction du paraboloïde H, de sorte que Ton peut encore définir le conoïde de Plûcker comme étant le lieu des lignes de striction des paraboloïdes isoscèles passant par deux droites rertangui aires.

Nous allons maintenant faire connaître une propriété du conoïde de Plûcker le caractérisant et pouvant, par suite, lui servir de nouvelle définition :

Soit r une génératrice du paraboloïde D, de même système que A; je considère la projection orthogonale de toute la figure sur un plan perpendiculaire à A en un point quelconque S {fig* 2). On obtient ainsi trois droites x, y^ z passant par S et une droite ^acb per*

( i80 pendîculaire à z. D'ailleurs

Fig. 2.

SX, SZt SYt

ya - yG ~ yb'

Ya YC ï^

SXt SZt SYt Ya ~ Y^ ~ T**

puis

mais

d'où

YC = Ya-4-ac; ao = aSsinco, aS = a6sin(x),

YC = Ya H- a& sin*w

= Ya-*-vY^ — ï^) sin^o) = Yacos*co + y^ sin^w,

donc, à cause des rapports (i),

SZ, = SXt cos*(i) H- SYt sin«a).

Rëciproqueiiieiit, soient X, Y rfeiix droites recian^ gulaires, 5 i/w ^oi/i£ rfr? leur perpendicnlaire cpw-

( «83) mune, Q un plan passant par A et faisant V angle <i> a\fec X, si l'on construit dans ce plan une droite Z perpendiculaire à à et coupant A en un point Z| tel que

le lieu de Z quand Q varie est un conoïde de PlUcker. Cela est évident.

Fig. 3.

La propriété que j*ai énoncée est dès lors très facile à démontrer. La surface S étant engendrée par des cercles passant par un point se transforme par inversion relativement à ce point en une surface engendrée par des droites. On reconnaît d'ailleurs de suite que toutes ces droites rencontrent la normale à la surface et sont parallèles au plan tangent en A. Prenons pour puissance d'inversion le produit R1R2 des rayons de courbure principaux de la surface au point A, et soient 0|, Oj les centres de courbure principaux. Les cercles de la surface S, correspondant aux sections princi-

( -84) pales Ti AN et Ta AN {fig. 3) sont respectivement les cercles de diamètres AOj == Ri et AOa= R^, situes dans les plans Ta AN et T, AN. Le cercle AO, se transforme en une parallèle à ATa menée par O^^ le cercle AOa en une parallèle à ATj menée par O^ . Si l'on considère maintenant une tangente kt faisant l'angle 0 avec ATa, d'après la relation d'Euler, le rayon de courbure AO =: R de la section normale correspondante est donné par la formule

i sin»ô cos*6

R ■"nRr"^'"Rr*

Le cercle correspondant se transforme en une droite passant par O' et menée dans un plan perpendiculaire

à A t. On aura

AO'.AO = RiR„ d'où

AO' = Ri cos«e ^- R, sin«e,

d'ailleurs l'angle du plan du cercle avec le plan T| AN est

a de sorte que

A0'= AOi sin*(o •+■ AOi cos*ci».

Donc, d'après ma déûnition du conoïde de Plûcker, le lieu de la droite ligure inverse du cercle de diamètre AO est un conoïde de Plûcker, ce qui démontre le théorème énoncé.

Bien entendu, en prenant une autre puissance d'inversion, on obtiendrait un autre conoïde homothétique du précédent, mais le conoïde de Plûcker que nous avons obtenu est particulièrement intéressant, nous allons voir pourquoi.

Considérons les tangentes asymptotiques à la sur-

( i85) face 2 au point A. Ces droites appartiennent évidemment à la surface S, mais elles se transforment visiblement par inversion en elles-mêmes. G>nsidérons maintenant toutes les surfaces parallèles à S : en prenant une puissance d'inversion convenable (le produit R|Ra relatif à chaque surface), toutes les surfaces S se transforment en le même conoïde de Plûcker^ car toutes les surfaces parallèles ont mêmes centres de courbure principaux et mêmes plans de sections principales. Il en résulte le théorème suivant, d'ailleurs déjà connu :

Le lieu des tangentes asymptotiques à une famille de su/J'aces parallèles, le long d'une normale à ces surfaces^ est un conoïde de Plucker.

BIBLI06RAPHIE.

Leçons d'algèbre et d'Anal y sk à Tusage des élèves des classes de Mathématiques spéciales; par M. «/. Tannery. — 2 vol. grand in-8** de 4^3 et 636 pages. Paris, Gauthier- Villars.

I. L'enseignement scientifique de nos Lycées n'est pas seulement une préparation technique; il n'a pas non plus la préoccupation unique d'élever de futurs savants : tout le monde est d'accord là-dessus. Mais quelles qualités cet enseignement doit-il développer dans les jeunes esprits et par quelles méthodes? Dans ses Leçons d* Algèbre et d'Ana-lyse, M. Tannery apporte une réponse à ces questions.

Sa méthode est de tout dire. Gela soulève des objections. Celle-ci d'abord : la méthode est dangereuse, elle fera des raisonneurs. Mais ce qui est dangereux ce n'est pas de raisonner, c'est de raisonner mal et il est dangereux aussi que,

( ,86 ) dans un pays libre, trop de personnes aient des préventions contre l'usage de la raison. Autre objection, d'un caractère plus pratique : on n'aura pas le temps de donner, dans les Cours, toutes ces explications et d^ailleurs il vaut mieux, dans une Leçon orale, faire bien comprendre l'idée essentielle que passer en revue toutes les difficultés. Mais le maître a dû réfléchir à plus de choses qu'il n'en peut enseigner et puis, à c6té du Cours, il y a les Conférences et surtout il y a les Livres auxquels on pourra, de plus en plus maintenant, renvoyer les meilleurs élèves.

Voilà, il me semble, le grand service que va rendre le nouveau Livre de M. Tannery : il engagera les jeunes professeurs à réfléchir sur leur enseignement; il aidera les bons élèves à compléter ce qu'ils viennent d'apprendre, à goûter la joie de voir clair et d'être sûrs, à acquérir, par de longs et consciencieux efforts, une raison plus ferme et une intelligence plus vigoureuse. Ce n'est pas, du reste, un Livre de pure théorie. Les règles y sont préparées et énoncées de façon à prévenir toute confusion dans les applications et à conduire jusqu'aux calculs numériques; des discussions minutieuses, des exemples traités avec détails montrent comment on peut, dans la pratique, obtenir une approximation donnée ou compter les décimales exactes.

Il serait trop long de signaler tout ce que l'auteur a apporté de personnel dans un Cours qu'il a évidemment repensé tout entier. J'essaierai seulement d'indiquer dans quelles limites il me paraît avoir voulu se maintenir et quelle part il a faite à la pratique et, pour cela, je .considérerai d'abord les questions d'Analyse, en prenant mes exemples dans les Chapitres consacrés aux nombres irrationnels, aux séries et aux intégrales définies.

IL La définition d'un nombre irrationnel est rattachée à la notion de coupure. Il n'y a pas de difficulté à donner cette notion, en se servant d'exemples simples, ni à introduire les valeurs approchées, avec une approximation donnée, d'un nombre défini à Taide d'une coupure. Ce qui demande plus d'efforts aux élèves, c'est de comprendre le sens des calculs faits sur les symboles représentant des nombres irrationnels, calculs abrégés qui se rapportent, en définitive, à des valeurs approchées de ces nombres et qui rejettent à la fin les discus-

( '87) sioQs relatives à rapproximation. L'exposé systématique des définitions et des opérations sur les nombres irrationnels est fait avec rigueur, mais avec l'aide de tout ce qui peut soulager l'attention : représentation par un point sur une droite, représentation décimale.... Le calcul des radicaux, l'introduction des exposants fractionnaires ou irrationnels, les définitions des arcs et des aires montrent déjà Tutilité des conceptions qui viennent d'être expliquées. Cette utilité apparaîtra plus clairement quand on abordera l'étude des séries et des fonctions d'une variable réelle.

Dans le Chapitre sur les séries, l'auteur s'est visiblement attaché à employer les démonstrations les plus élémentaires ; ainsi la condition de convergence de Cauchy est indiquée seulement dans un passage imprimé en petits caractères. Mais on donne une démonstration rigoureuse de ce fait qu'une quantité qui va constamment en croissant et reste inférieure à une quantité fixe tend vers une limite. Cette dém(»nstration n'est pas autre chose, au fond, qu'une analyse de ce qui est admis dans le raisonnement géométrique exposé ordinairement à ce sujet; on le verrait encore mieux si l'auteur ne s'était pas interdit de parler de la limite supérieure d'un ensemble. La fin du Chapitre sur les séries est consacrée au problème : Calculer, avec une approximation donnée, la somme d'une série dont on sait calculer chaque terme avec telle approximation que Von veut; l'application est faite en détail à deux exemples numériques.

On lira avec un vif intérêt tout le Chapitre sur les séries de fonctions. Le rayon de convergence d'une série entière en X est déterminé, dans le cas simple où tout est positif, par un raisonnement qui revient à considérer la limite supérieure des valeurs de x qui rendent la série convergente. La continuité d'une série entière est rattachée à la même question pour une série de fonctions continues de x dont les termes sont inférieurs, en valeur absolue, aux termes, tous positifs et fixes, d'une série convergente. Ceci permet de trouver la dérivée d'une fonction /(a?) définie par une série entière en cher^

t 1. . .. . j /(a? -4- A) —/(a?) chant directement la limite du rapport ^^^ -r — ^^-^ — -t ou

l'on fait tendre A vers zéro. L'analogie des propriétés entières avec celles des polynômes entiers est ainsi bien mise en évidence» Le9 développements des fonctions e*,(n-rr)'»,log(i -ha?)

sont obtenus directement. On explique, en grand détail, remploi des développements limités avec un terme complémentaire et Ton en fait l'application aux fonctions rationnelles et aux fonctions implicites.

A propos de l'intégrale définie, je montrerai seulement comment M. Tannery considère Taire d'une courbe fermée. La notion d'aire a été introduite, dés le premier Chapitre, à propos du cercle, en considérant un polygone {p) limité par une ligne fermée dont tous les points sont intérieurs au cercle ou sur la circonférence, puis un polygone (/>') limité par une ligne fermée ayant tous ses points extérieurs au cercle ou situés sur sa circonférence; l'aire p du premier est plus petite que Taire p' du second ; d'autre part, on voit aisément que, parmi les polygones intérieurs à la courbe et les polygones extérieurs, il y en a dont les aires différent aussi peu qu'on veut. L'aire du cercle peut être définie comme un nombre plus grand que Taire de n'importe quel polygone (/»), plus petit que Taire de n'importe quel polygone (/>'). Pour étendre cette définition au cas d'une courbe fermée quelconque, on considère Taire limitée par une courbe

Taxe des x et les ordonnées correspondant aux abscisses a et b {a <,b) en supposant d'abord que la fonction /(:r) soit positive et croissante; on prend pour polygone {p) la somme des rectangles intérieurs et pour polygone (/>') la somme des rectangles extérieurs qui correspondent à une division de l'intervalle {ab) en intervalles partiels; la différence y?' — p des aires de ces polygones tend vers zéro quand tous les intervalles partiels tendent vers zéro. On peut alors répéter les raisonnements faits à propos du cercle et regarder comme définie Taire du trapèze curviligne considéré : p est une valeur approchée par défaut, p' une valeur approchée par excès de cette aire.

Le paragraphe consacré à l'évaluation approchée d'une intégrale définie contient une discussion intéressante de la méthode de Simpson et conduit de la façon la plus naturelle à des formules qui pourraient être rattachées à la formule sommatoire d'Euler-Maclaurin. La méthode de Simpson con>

X* dx donne pour

( i89) rintégrale la valeur 0,7863983 dont la différence avec la valeur exacte est moindre que a x lo-''. On considère encore

l'intégrale / e-'*dx, on évalue une limite de Terreur commise en la remplaçant par / er-**dx et Ton calcule cette

dernière intégrale avec quatre décimales exactes.

Je m'en tiendrai à ces exemples pris dans les questions les plus abstraites du programme d'Analyse; on verra que les calculs d'intégrales, les applications aux arcs, aux volumes, aux moments d'inertie, les équations différentielles linéaires ont été traités avec grand soin, le point de vue restant celui du nouveau programme de Mathématiques spéciales.

III. La partie algébrique de ces Leçons apporte des éclaircissements et des précisions sur bien des points au sujet desquels il serait certainement plus facile et plus rapide de s'en tenir aux généralités. Par exemple tout ce qui se rapporte aux fonctions symétriques, aux racines infinies des équations algébriques, aux solutions communes à deux équations algébriques renouvelle l'enseignement de ces questions importantes.

A propos des fonctions symétriques, l'auteur insiste sur la distinction à faire entre les fonctions symétriques de n variables et les fonctions symétriques des n racines d'une équation algébrique {x\ — x^x^ est une fonction symétrique des racines de l'équation x^-\-px -\- q = o).

Je ferai, en passant, une remarque que je tiens d'ailleurs de M. Tannery sur la question suivante : Montrer que le calcul d'une fonction rationnelle et symétrique

F(a?i,a?i, ...,ar„)

des racines d*une équation algébrique de degré n se ramène au calcul d'un ou de deux polynômes entiers et symétriques de n variables Xi, Xs, ..., Xn» La proposition s'établit pour une fonction entière en prenant la moyenne

^(F,H-F,-+-...-hFv) des valeurs que prend la fonction quand on effectue sur Xi^

( '90 ) ^t) "M ^n ies V =i.2.../i permutations possibles. L'exten-

sion à une fonction rationnelle ~- est immédiate si l'on coab»-

dère le rapport

Ai-f- Ai-4-...-h Av

et si Ton écarte le cas singulier où Ton aurait

At H- ^t -*-. • • H- ^ = 0.

Pour éviter d'avoir à faire cette restriction, il sufSt d'opérer comme on Ta fait pour les fonctions entières et de considérer la somme

cette somme étant mise sous forme de fraction, son dénominateur et par suite son numérateur sont des fonctions symétriques des n variables â?i, Xt, . . ., x^»

Quand on veut calculer une fonction symétrique entière f{xx,xt^ ,,.,Xn) à l'aide des fonctions symétriques élémentaires Su 'ti •••9 Sny on peut passer par l'intermédiaire des sommes de puissances semblables. Mais cette méthode n*est pas toujours la plus commode. On expose ici la méthode de Waring qui, outre ses avantages pratiques, met en évidence des propriétés du polynôme P{si, 5t, . . ., 'n) auquel se ramène la fonction donnée /(xi, Xt, ,..^Xn) et Ton montre sur des exemples comment on peut profiter de simplifications qui résultent des valeurs numériques des coefficients.

L'examen des cas particuliers et de la façon dont il faut entendre le théorème : Deux équations des degrés respectifs n, p ont np solutions est, dit l'auteur, en dehors du cadre de ces Leçons, Mais, dans les passages imprimés en petits caractères, il donne à ce sujet des indications très instructives. Les degrés de deux polynômes entiers en x dont les coefficients sont des fonctions entières de y peuvent s'abaisser tous les deux pour une valeur particulière de y; on dira que ces deux polynômes ont un diviseur commun de degré rectifié -^ -i- r si ^ est le plus petit des deux nombres qui marquent l'abaissement du degré et si, en outre, les

( '9» ) deux polynômes ont un diviseur de degré vrai égal èfr. Ceci permet de présenter avec précision ce qui se rapporte aux points à l'infini communs à deux courbes algébriques. Quant à définir une solution multiple de deux équations

on montre qu'on y peut parvenir par une méthode qui revient à former Téquation tangentielle des points communs aux deux courbes correspondantes.

Je voudrais parler encore des 4oo Exercices proposés à la fin des Chapitres auxquels ils se rapportent. Mais il faut terminer une Note déjà bien longue. C'est en lisant avec soin les deux Volumes de cet Ouvrage qu'on reconnaîtra tous les services qu'il peut rendre aux élèves et à l'Enseignement.

E. Lacour.

SOLUTIONS DE OUBSTIONS PROPOSEES

es, désignant le nombre des combinaisons de m objets r à r, démontrer IHnégalité

(csf»C5.-csf«csr')»

m, et r étant quelconques (r£ m).

(SoLON Chassiotis.)

SOLUTION

Par l'Auteur.

L'équation

(rr — 1)'»= o

a toutey ses racines réelles et, d'après un théorème de Catalan, entre quatre coefficients consécutifs a, b, c, d^ on a Tinégalité

(i) (ad - 6c)«— 4(^*— ac)(c«— bd) < o.

En remplaçant a, b, c, d par

(-l)rGr„, (-,)r+IGr„*., (-i)r*tC^t, (,),^.GK-»,

on a rinégalité proposée, en remplaçant les puissances paires de ( — i) par •+■ i.

OUBSTiONS.

2040. Attachant aux mots de semi-plan et de semi-sphère les sens que leur a donnés Laguerre, démontrer les théorèmes suivants :

1° Les cinq semi-sphères qui touchent cinq semi-plans quelconques, pris quatre à quatre, touchent une même semi-sphère.

!2° Étant données cinq sphères qui touchent une même semisphère (S), il existe, outre (S), une semi-sphère qui touche quatre quelconques d'entre elles. Les cinq semi-sphères ainsi obtenues touchent une même semi-sphère. (R. B.)

2041. Démontrer l'identité suivante, relative au triangle arithmétique :

4 lo 20 ..

(G. FONTENÉ.)

LIBRAIRIE GAUTHIER-VILLARS