A = DX, C = BX

et l'équation (H) devient

\y -4- \{z — A)] yùx -4- B(^ -4- A)] = o,

c'est-à-dire que la quadrique H se réduit à deux plans passant respectivement par D, ly et déterminant dans S deux cubiques.

Si D = o, la quadrique H est un paraboloïde, et Ton

( »8) retrouve les résultats indiqués plus haut : la courbe C$ est remplacée par une cubique gauche F et la droite à rinfini du plan xoy comptée trois fois-, Thyperbole (5) <*st remplacée par une dix>ite quelconque du plan xoy. ÏaSl cubique F devient plane si A := o ou 6 = 0, auquel cas le paraboloïde se décompose en un plan parallèle à xoy passant par F une des droites D, Tï el un autre plan passant par Fautre droite. Le lieu de P est une droite parallèle k ox ou oy,

III. Les é(| nations ponctuelle et tangentielle de S sont, en coordonnées homogènes,

(S) x^(z-~ht)^ ^yt(z-hhiy =0,

(Si) u*{hw — r)' — t»*(/itv H- r)«= o.

Soit une qua(h*ique Q ayant pour équation ponctuelle

Les coordonnées homogènes du plan polaire d'un point (x, y^ z, t) de S par rapport à Q sont

en remplaçant u^ 1», w, r par ces valeurs dans (S4), on doit obtenir Féquation ponctuelle de S. En identifiant Téquation obtenue avec Féquation (S) on voit aisément que, si la quadrique Q existe, son équation ne peut êire que de la forme

Aa7«-f- A>«4- A'^ï-f- 2G'« -+- D = o,

c'est-à-dire que Q est une quadrique ayant pour plans de symétrie rectangulaires yoz et zox^ pour axe de symétrie oz. D'ailleurs ce résultat est à peu près évident en remarquant que la surface S possède cette symétrie.

(29 ) Oïl a alors

Portant ces vali^urs dans (S|), on obtient réquatioii

Pi}x^[z{M'h — C) H- C'A - D]» — A'ïj'M^C A'A -H C) -h C'A -h Dp = o.

Eii identifiant avec (S), qu'on écrit

ar2( A — .5>» — ^*( A -*- -«)*= o,

on a les relations

qui se réduisent aux deux suivantes D = A' A»,

Les deux coefficients A et A' sont différents de zéro;

quant à A^'' il peut être nul ou non.

Si A" = o, on a

et, comme Q? est différent de zéro, sans quoi la quadrique Q se réduirait à deux plans, on aura

d'où

(3o) Les quadriques Q ont, dans ce cas, pour équation générale,

OU

a7*dt ^'-+- a/?5 = o,

c'est-à-dire sont des paraboloïdes Q, de révolution ou équilatères.

Si A'^ n'est pas nul, D est différent de zéro ainsi que C, A et A'. Nous poserons

par suite

a- — o * L'équation générale des quadriques Q est

Conime A" est difféient de zéro, on peut supposer A"= I , et Téquatiou précédente s'écrit

/(:r, y, z) = a^x^-h a'^y*-^ z^-h'ih^^]^^ ^J z -t- //« = o.

Ou obtient l'enveloppe de ces quadriques Q en éliminant a, a' entre Téquation précédente et les suivantes .

ou

^ , - , fa* — a^)'xa — {a*-h a'^)-2a

ia'^y^-h ihz- ^-r— j—- = o,

^ ( rt' — a'- )-za' -i- ( a-T- a'* )ia' __

c'est-à-dire

3aar« — 8A«

(3. ) De ces denx dernières équations on déduit, en éliminant z,

et, d'après l'équation /(x,^, z) = o, on aura

ou

ihz a'^—a"^'

D'où

(z — h)* ia^ a^

Ou en déduit

Remplaçant -j par Tune ou l'autre de ces valeurs dans l'équation

on obtient pour enveloppe des quadrîques Q les deux

surfaces

a'»(« — A)3db7«(-5-h A)»=o,

dont l'une est la suif'ace S.

BIBLIOGRAPHIE

Théorie der ebrnen algebuaischen Rurve^ uôherer Ordhung; von D'' Heinrich Wieleiiner, — i vol. in-8 de XXII + 3 1 3 pages y avec 82 figures dans le texte. — Leipzig, Goschen, igoD.

Cet Ouvrage, qui fait partie de la Sammlung Schubert , collection bien connue de traités sur les diverses parties des

Mathématiques, constitue un excellent et substantiel exposé des faits principaux de la théorie pure des courbes algébriques : j'entends par théorie pure celle qui n'est pas dominée par la préoccupation d'étudier les fonctions algébriques. Les connaissances supposées chez le lecteur sont réduites au minimum : éléments de la Géométrie analytique et du Calcul différentiel.

Un résumé de l'Ouvrage en fera connaître le plan et la porlée.

Chapitre I. — Généralités, définitions des courbes algébriques, distinction entre les propriétés métriques et les propriétés projectives, éléments imaginaires, principe de dualité, ordre et classe d'une courbe.

Chapitre II. — Polaires de divers ordres, points multiples, leur influence sur la classe, théorie des enveloppes.

Chapitre 111. — Courbes associées à une courbe donnée (hertzienne, cayleyenne, steinérienne).