II. Les équations (G) peuvt^nt s^écrire
jr = — r(^ -4- A), v= ^iz — h).
Ces équalions. jointes à Téquatioii ponctuelle de S,
savoir
«lonnent les coordonnées x, r, z d*un point quelconque M de la surface S en fonclioii de deux paramètres a et p. L*éli mi nation de x et y donne l'équation
a«(^ — A)-h3«(^-HA) = o.
Doù
z ^ h z -h h ^x xh
aî-
aj.
Par
siiile
les
coordoi
nées du a»
|»oint
sont
Supposons que le point P( a, ^, o) décrive une droite A ayant pour équations
(A) -« = 0, ax -{- by -\- c = o.
{ a5) <» aura
(3) aa -h ^3 -h c = o.
Lt» li«u de M esl «ne courbtf définie parafnéti-i(|ueiiienl par les éqaalîons (2) et (3), c'est-à-dire une cubMjue gauche F. On al)liendra les équations ponctnellrs de cette cubique en éliminant « et ^ enli% (a) et (3), ou encore entre les équations
«ar-p^
aa -h 6p -hc = o.
Des deux premières on tire a et ^
'ly z
2Aa7 a = T- »
^-Bi
En portant dans les deux dernières on obtient l'équation de S, romme cela était à prévoir, et Téquation d'un paraboloïde gji [>assant |iar D et D'; de sorte que la ligne lieu de M quand P décrit A ('ht définie par les équations
(S) ar«(^ — A)»-t-j^«(«-h/i)»=o,
(wi) lahxi^h — z )-hibhy(h'h z)-\-c(k — -5)(Ah-z) = o.
l/intersectiun de la surface S et du parabobâdc tn< qui est du dixième d«*gré se compose de D et lï, droites doubles de S^ de la droite' de Tintini f=o, z := o comptée trois fois et de la cubique F.
L'équation (t9|) étant linéaire et homogène par
{ »6) rapport aux trois paramètres a, &, c, on peut dire que cette équation peut représenter un paraboloïde quelconque passant par D et ly; alors le calcul précédent montre que Fintersection de la surface S et d'un paraboloïde quelconque passant par D et ly se compose des droites D, ÏV comptées deux fois, de la droite à Tinfini du plan xoy comptée trois fois et d'une cubique gauche. Étudions maintenant Tintersection de S avec une quadrique quelconque H passant par D et ly. L'équation de H est de la forme
(H) kx(z — A)-+- Bjr(z -h A)H- C(z — h)(z -h h)-h Dar^ = o.
Pour tout point commun (x, ^% z) à H et à S les paramètres a et ^ seront liés par une relation obtenue en remplaçant dans l'équation (H) les coordonnées .r, y^ z par Irurs valeurs (2). En remarquant que
, — aAp« - iAa»
cette relation est
Elle se décompose en deux :
(5) Dap — aAAa-h^BAp — 4CA« = o.
La première donne sur S les droites D et D' comptées deux fois, car pour a = oou P = oona respectivement
jr = o, J'=P> z^—h (droite D'), ^ = 0, ar = a, z =■ h (droite D).
Le lieu correspondant du point P(a, ^) dans le plan xoy est l'axe oy ou Taxe ox,
L'équaiion (5), qui est une relation homographique
( »7 ) enlre a et p, définit sur S une courbe du sixième degré Ce* Le lieu correspondant de P dans ]e plan xoy^ défini par l'équalion (5), est une hyperbole équîlatère dont les asymptotes sont parallèles aux axes oXy oy.
Sî D nVst pas nul, c'est -à-dire si H n'est pas un paraboloïde, de (5) on déduit
P" Da-haBA '
et d'après les formules (2) on obtiendrait aisément les coordonnées d'un point de C« en fonction du seul paramètre a.
La courbe Ce se décompose quand la relation (5) se décompose*, alors (5) prend la forme
ce qui a lieu, comme on le voit sur l'expression précédente de ^, quand on a
L'hyperbole (5) se réduit a deux droites respectif vement parallèles à ox^ oy et la courbe Ce se décompose en deux cubiques planes^ car, si l'on appelle \ la valeur commune des rapports précédents, on a
