a (5* a -h i) = 2*.5*/i ou
ce cjui donne
a = i6/ ou a = i6/-r7.
Donc h ne peut avoir que les deux torrnes
250000/*-+-/ ou î5oooo/»-i- 218751 / -f- 47 8T»a, ce qui donne pour^
5ooooo/-4-i, 218751.
2° y = \ox -h 9. — Celle hypothèse, développée de ia même façon, montrera que^ doit être ici de la forme
d'où et enfin d'où
h = I 000 000/* H- I 562 498/-h 6ro35o,
D'autre part, nous savons qu'un carré impair n'est Jamais de la forme ôg^-t-S; il y aurait donc pour ce problème général seize formules.
Mais pour le problème particulier
y^=z io« /i -f- 1 = z\ H- I ,
nous n'aurons que les quatre formules précédentes où h sera 6m.
il reste à exprimer dans la seconde partie des recherches que chacune des formules est séparément divisible par 2^®. 3*®. 7^. 1 1*. 1 3. 17. 19. 28, au moins. Ceci donnera toules les conditions particulières, qui, évidemment, ne seront pas toutes compatibles entre elles.
L'étude de ces nouvelles hypothèses est un peu longue et aride : en conséquence, nous ne la développerons pas ici.
La conclusion de nos premières recherches est que,
Ann, de Mathëmat,, 4* série, t. V. (Mai 1906.) l5
si la question comporte une autre solution, elle don» nera pour y un nombre de 20 à 3o chiffres au moins. Nous serons heureux de voir continuer et développer ces investigations, et espérons les voir aboutir défini*tivement, après trente années d'attente pour Tauteur de la question.
Il aérait peut-être intétessant d'étudier
Nous avions d*abôrd essayé d'autres méthodes, mais celle qui vient d'être exposée nous semble préférable (•).
DÉNONSTRATIdN N LA GONSTRUGTiON TROUVÉE PAR HAMILTON POUR DÉTERMINER LE POINT OÙ LE CERCLE DBS NEUF POINTS D'UN lltlANfiLB TOUCHE LE CERCLE IKSCRIT V');
Par m. a. MANNHEIM.
En 1899, la question i544 posée dans V Intermédiaire des Mathématiciens appela l'attention sur la détermination du point de contact du cercle des neuf points d'un triangle ei du cercle inscrit à ce triangle. J'envoyai une première réponse, parue la méttte anoée
(*) Pour la bibliographie des questions menlionnées, i;oi/* aussi : Nouvelle correspondance mathématique : F. Froth, quest. 301,.
1877, P* ^99» ^- Lucas, 1878, p. laS (généralisation). Intermédiaire des Mathématiciens : A. Thohin, quest. 334, 1894,
p. 186; E. Fal'queubkrouk, 1895, p. ia3; H. Tarry, 1896, p. 363;
1896, p. 276. — E.-B. KscoTT, quest. 12G4, 1898, p. 78; quest. 2546,
1903, p. 69; P.- F. TeILHET, 1904, p. 5l. — G. DE ROCQDIONY»
quest. 2740, 1904, p. 68; quest. 2813, 1904, p. 190; quest. 2822,
(2) Voir : Gkrono, Nouvelles Annales, i865; et Canon, Nouvelles Annales, 1903.
( î»^7 ) k la page 264, puis une autre qui, publiée eu i9o4} page 18 (*), renferme la construction suivante, la plus simple, je crois, des constructions connues :
Sur le cercle de centre I, inscrit au triangle ABC, on prend le point E' diamétralement opposé au pùiiU E^ où ce cercle touche BC; la droite qui passe par E' et par le milieu L de Al coupe le cercle inscrit au point où celui-ci est touché par le cercle des neuf points du triangle ABC.
CTest en nie servant de celte construction cjue je vais retrouver la suivante, due à W.-R. Haniilton :
Pour un triangle ABC, par le point de contact E du côté BC et du cercle inscrit, on mène la droite qui passe par le point où la polaire de A, par rapport au cercle inscrit, coupe la droite WC qui Joint les milieux de AB et AC ; cette droite rencontre le cercle inscrit au point V où il est touché par le cercle des neuf points.
Appelons T le point de rencontre des tangentes (mi E' et r au cercle inscrit. La polaire de T est ET, par suite la polaire de L est la perpendiculaire TP n Al. On a alors
IL X IP = lE
