CO

l'on a

1 , CCD»

Pour ramener l'équation à la forme

dx,

dy^

Xia:i-H..

sons

aa;' + p/,

ri =

otV'+py.

Si F est une série convergente satisfaisant à l'équation aux dérivées partielles

dx ày'

on doit avoir

€e qui donne

Xiaa?' -h(a'ar'-hX,y)P =X,(aa?' -f- p^), Xia'a?'-f-(a'a7'-4-X,y)?'=X,(a'ar'-4-py);

■et, si l'on veut,

<le sorte que Ton a

<3t Péquation devient

rfar, ^a'a?, — Xj ^ ^^ arj -h Xj j^i-h . . . j

X,a:, -H... *" Xsj^i+... ~ V '

On a donc pouroTi elj^ des développements convergents de la forme

xi = Xrp^i -4- . . . ,

d'où

, ,, OtÙ { , -JW 2 I

— Ito)

Si donc

«D > — 2te) OU C<->

la tangente à une caractéristique, au nœud c', d^ailleurs variable avec les constantes k et A/, sera distincte du grand cercle x = — i .

Si, au contraire,

la tangente à toutes les caractéristiques sera le grand cercle x = — i .

Quand c= x> on a ).|:=Xa; on sait alors que les

intégrales du système

dx' dy'

ar' -h . . . ~ c u) , ,

(c-rt)*^ '-^ ' ••

se présentent sous forme de développements ordonnés suivant les puissances croissantes de (^ et de (^log(^:

^ tend donc vers zt oo quand u tend vers o.

Dans le cas où c est plus grand que a, les points y et y' sont des nœuds. Il nous sera encore nécessaire de connaître les développements représentant les intégrales dans le voisinage de ces nœuds.

En posant j^= -, l'équation devient dx — dz

(x* — l) Z(l IDZ ){— (HXZ -^ ÀX — CtùZ-\-C)

Par le point x = a, (a^^ i), z = o passe donc une intégrale représentée par le développement

z = A(rF — a)«-h. . .; d'où

les termes non écrits étant des puissances supérieures de x — a.

Si a = — 1, en faisant la substitution x = x* — i, Téquation devient

dx' dz

Le point x'= Oy z = o est donc un nœud; au contraire, le point a: = I , z = o qui fournirait Féquation

dx' dz

~- X' {X' -h il) (c -h 2)S -h. . .

est un col par où passent les grands ceicles z = o etx= I (*).

Dans le voisinage du nœud on peut développer les intégrales sous la forme

Reste eniin Télude des intégrales au voisinage du point A{x = — c,j^ = o) quand ce point est un nœud

En transportant l'origine en ce point, l'équation

( *) Voir plus haut.

devient

dx'

- (ar'= or-

(Cî^,)^4-.

iù^x

'-h Citiy ->t-, .

Pour ramen

er Téqua

tioD à

la for

dx\

^J^lH-..

A,ir,-+....

il suffit d'appliquer la méthode déjà employée. On

pose

xi = ax' H- Py,

et Ton a, pour déterminer a, p, a', P', les équations

(et— i)a-+-ca)p = Xip, (c»— i)a'-+-ccDp'=X,p';

^1 et ^3 étant les racines de Téquation

X* — ctoX — <a^(c* — i) = o,

dans chaque groupe, les secondes équations sont une conséquence des premières. On pourra donc prendre

a = o>«, p = X„ a'=a>», P'=X„ et l'on a

*"u>«(Xi-x.)' ^-xr=^'

(Xi^^i — XjrfjTt) /Xi7i--X,art a?, — art \

co«(X,-x,) V Xt-x, -^^^Xi-x, "^•••;

dxi ^^__^__^

[— XiXjH- cwXi-h a>*(c* — i)]a?iH-...

[— ti)'(C*— l)-4- XiXî— XjCtoJ^l-

encore

( — v/6c* — 4 -+-c)ariH-...

dyx

d'où l'on conclut que Xt et yt peuvent se développer suivant les puissances de ^-Ac*-*^-c et de u*^**^*"*"*"*^ :

ce qui donne

U^l^— V5c«— *-f-c^ , K' li-^^ic'— H-c . . .

x' et y sont donc du même ordre infinitésimal, de soi'te que Ton a, dans le voisinage du point F,

[| resterait enfin à examiner s'il y a autour du point F* (nœud ou foyer) un cycle limite. Je n*ai pas encore résolu cette question^ nous verrons dans quelle mesure intervient l'existence ou la non-existence de ce cycle limite.

i. Connaissant les points singuliers du système des caractéristiques, il nous suffirait encore de connaître le système topographique des cycles sans contact poui* pouvoir tracer complètement le système des caractéristiques. On sait en effet qu'il existe toujours un tel sys-

( 207 ) tème topographique de cycles et de polycycles sans contact dont les fonds et les sommets sont les nœuds et les foyers du système des caractéristiques, et dont les cols sont les cols cle ce système ( *).

Sans connaître Féquation du système des cycles sans contact, il est possible dans le cas présent de prévoir la forme des caractéristiques en s'appuyant sur la propriété qui vient d'être rappelée et en se servant du tracé

des courbes

En tout point de la première la tangente à la caractéristique passant par ce point est parallèle à Taxe des r et en tout point de la seconde la tangente est parallèle à Taxe des x, les points singuliers qui sont à la fois sur ces deux courbes étant naturellement exclus.

Ces courbes, qui se composent {fig- 2), la première

de Taxe des x vX des grands cercles x = dz i et la seconde du grand cercli; ^ == to et de Thyperbole ixy — ii^x-^cy — ca> = o, partagent la sphère en

(») Cf. H. PoiNCARÉ, Journal de Liouville, t. VIII, i88a.

régions dans chacune desquelles -^ a toujours le même

signe. Dans la figure ci-jointe les régions marquées +

sont celles où —^ est constamment positive et — celles

où -^ est négative. Suivant les valeurs de c nous aurons

donc, pour le système des caractéristiques, dans le fuseau compris entre les deux cercles a: = rt i , les figures suivantes :

Fig. 3.

II^^ ^^^i^'-an \

.,lx1\

^pXj

2** 2}>c>i. — Sic>| {fi^' 4)» toutes les caractéristiques sont tangentes au grand cercle x = i au point C.

( ao9 ) La figure 5 esl faite en supposant

Fig. 4.

jJJ

qu'il n*y a pas de cycle limite autour du nœud Â. En ce point toutes le:» caractéristiques sont tangentes à la

droite ayant pour coeflicient angulaire *

comprise par conséquent entre la tangente à Thyperhole, dont le coefficient angulaire est — - et la di'oite x = — c.

La figure 6 e^t faite en supposant

que le foyer A n*esl pas entouré d'un cycle limite.

La figure 7 représente le voisinage du point A quand il y a un cycle limite.

Ann. de Mathémat., l\* série, t. V. (Mai 1906.) I^

( ^'o ) Remarque. — Quand c < i il ne peut y avoir de caractéristique joignant le nœud N et le col C, ni C et C'y tandis qu'il y en a une joignant N' et C. En eflët, les ordonnées des points C et C sont co^~" ' et 03^"^' ;

celle du point C est donc toujours plus petite que celle

Fig. 5.

du point C. Il y aurait donc nécessairement, pour une caractéristique joignant N et C ou C et C, des points

où Ton aurait ^ !!> o et qui seraient situés dans la

région — comprise entre les grands cercles a: = ±i, rhyperbole 7.xy — wx -f- cy — cw = o et Taxe des x^ ce qui est impossible.

5. Il faut maintenant interpréter ces résultats eu se servant des variables p et d.

Nous

avons

( an ;

— dx

y — oi

dt =

y sina

Soient Oq et p^ les valeurs initiales de ft et de p {i = o); les valeurs correspondantes de x et de j)^ sont

a7o= cosOo^

a sinOo

Il résulte de là que, à Tiuslaiit initial, la régiou du plan située au-dessous de la tangente MqT (,/î^. 8) (it < 8o< 27c) correspond à la région de la sphère comprise entre les grands cercles a: = dz i et au-dessus du

grand cercle y =w. La région siluée au-dessus de la tangente correspond à la région de la sphère située au-dessous de ce grand cercle.

Si yo > (i>, on a

Si ^0<; w, on a

yo—u)

D'autre part, le sens dans lequel il faut supposer qu'un mobile se déplace sur la caractéristique sphé« rique, à partir de la position initiale Qo, est déterminé par ce fait que dt doit être un accroissement positif du

temps. Si donc j^> îùy le mouvement se fait de manière que X décroisse.

Si Cl) >-yo> Oj 'e sens .du mouvement sur la carac-

Fig. 8.

GX-

téristique est celui de œ croissant.

Si jKo<o, le sens du mouvement est celui de x décroissant.

Partant du point initial Qo(j^o^yo) on arrive en un point de la caractéristique Q(x, y) au bout du temps

dx ^sinu

cette intégrale étant prise le long de la caractéristique.

La quantité sous le signe / ne devient infinie que

lorsqu'on rencontre l'axe des x ou Tun des points N ou N', C ou C. De plus, pour les points y «t y', qui sont des nœuds quand c>2, le dénominateur peut devenir de la forme oo x o. Examinons ces difTérents cas. Les caractéristiques étant toutes normales à l'axe des x^ celle qui passe par If point a: = a, y = o^ — i<:;a<;i, a^ — c, a pour développement

y = \{t — «)'-+- Ai(^a7 — a)*-f-. . .,

car ce point est un point ordinaire pour l'équation

dx X dy" \

et Ton a

ce qui donne

11 résulte de là que, si x tend vers a en suivant un arc de caractéristique, l'intégrale

dx ^sinw

tend vers une valeur finie.

De même, quand le point lend vers un des points N ou I^', y tend vers (o et si nu tend vers zéro comme y/i — X ou y/i -\- x^ ce qui fait tendre Tintégrale vers une valeur finie. 11 en est de même quand le point mobile tend vers uh des points C ou C.

Quand le point 8 tend vers y ou y^, deux cas sont à distinguer suivant que la caractéristique suivie est asymptote au grand cercle x = — i ou au grand cercle a: = a ( — i <[ a < i). Dans le premier cas on a, pour les valeurs très grandes de |y |,

Comme c > 2, on a

et par conséquent Tintégrale tend vers une limite finie. Dans le second cas on a

( 2i5 ) et Tintégrale a encore une limite finie.

Il reste enfin à voir ce que devient cette intégrale <]uand le poiut décrit un arc de caractéristique aboutissant au nœud' A [i>>c>>-^V On a, comme nous l'avons vu,

^ = A(ar-4-c)-h... (A = ""— "^ V

Il en résulte que, quand x tend vers — c, l'intégrale qui représente le temps devient infinie comme un logarithme. Dans toute la région étudiée de la sphère c'est le seul point où cette intégrale soit infinie.

Quant à la valeur de p, elle est finie en tout point du champ des caractéristiques, nulle aux cols G et C, in- <iéterminée aux nœuds N et N'. Si Ton aboutit à Tun de ces nœuds en suivant la caractéristique

X dt I = Cf*H-. . .,

p tend vers la limite

a \pi s/-±i c

On repartira du nœud sur la caractéristique située de Tautre côté du grand cercle j^ = *«> en donnant à p la

même valeur (même valeur du rapport j et Ton

pourra arriver au bout d'un certain temps à Tautre nœud. Je dis que ce sera avec une valeur de p nécessairement plus petite.

En effet, si le point Pq est très éloigné du point Mq, le point Qo sera très voisin du grand cercle j^ = w. Il est évident que le navire P se rapprochera constamment <lu centre du cercle décrit par le navire M, tant qu'il

(2.6) n*aura pas pénétré dans ce cercle. La distance

p'= V^p»-4-R'±2Rpsinw = a ^^i^

doit donc toujours diminuer. Le signe + correspond au cas où j — o) > o et le signe — au cas où jk — «»> •< o, comme il est facile de s'en assurer. Si partant d^un certain point d*abscisse x on arrive , en suivant une caractéristique joignant N et N' au point d'abscisse — x du même côté du cercle y — co = o, il en résulte que la valeur absolue de ^ — o) doit être plus grande pour ce second point que pour le premier.

Nous rencontrons donc ce fait assez curieux que le point Q, partant de N sur une certaine caractérisa tique, arrii^e en N' sur un arc de caractéristique tel qu'en revenant en N l'arc de caractéristique suii/i «e soit pas le même qu'au départ. Le second arc de caractéristique suivi de N en N' est situé au-dessus du premier et le second arc suivi de N' en N est situé au-dessous du premier.

Remarquons pour ce qui suivra que Ton a

d<i y sin u

En ce qui concerne 6, on a

<^ dt i __ da\ dt ^ '" di dx^ \'' Ttjdx*

dx or

dx y sin u donc

dx "~ y %mu sin a *~ ys\nu " ^y

Donc 6 varie dans le même sens que x au-dessus de

{ 217 ) Taxe des x et en sens contraire au-dessous de cet axe.

Il est maintenant facile d'indiquer quelles seront les circonstances qui se présenteront dans le mouvement des deux navires.

Si leur distance initiale est suffisamment grande le point Q sera voisin du grand cercle j^^ = w. Le temps croissant, il arrivera sûrement que :

I® Si c >> 2, le point Q décrira à partir du point N un arc situé au-dessus de la caractéristique NC, ou k partir du point N' un arc situé au-dessous de la caractéristique N'C (ou l'un de ces arcs de caractéristiques).

2** Si c < 2, le point Q décrira à partir de N' un arc situé au-dessous de la caractéristique N'C (ou cet arc de caractéristique).

On peut donc toujours supposer la distance initiale grande :

I® c > 2. — Soit qu'on aboutisse en y ou eu y', soit qu'on aboutisse aux cols C ou C, p tend vers zéro en un temps fini. Il y a donc rencontre au bout d'un temps fini.

2" 2>>c>i. — On peut aboutir soit en C, soit en C Dans les deux cas la conclusion est la même que la précédente.

Ces deux cas correspondent à une trajectoire (dans le mouvement relatif) ayant la forme suivante {^fig* 9)

Le nombre des maxima et minima relatifs est fini ils correspondent aux passages du point Q en N et N puisque Ton a

dp X -{- c — ^ = a

d^) y — ixi

et que or -+-c* > o.

( 2i8) A partir du monieiit où Wm est sur une caractéristique coustamment située au-dessus de NC ou au-dessous de NX, la trajectoire ne présente plus de maxima ou de luiniina pour p.

Fig. 9-

3® I ]> c. — Il nous faut voir tout d'abord à quoi correspondrait l'existence d^un cycle limite, restée hypothétique dans ce cas et dans le suivant :

Les remarques qui ont été faites sur le sens dans lequel le point Q décrit les caractéristiques quand le temps croit constamment, montrent que ce point devrait décrire ce cycle indéfiniment, toujours dans le même sens (sens inverse du sens trigonométrique).

Ce cycle serait tout entier compris entre deux ellipses <]ui lui seraient tangentes

P>= r .. - Pî =

fï

A ces deux ellipses correspondent deux cercles de rayons p< et pa, entre lesquels doit rester toujours comprise la trajectoire puisque tous les points intérieurs à la première ellipse, par exemple, correspondent à des valeurs de p plus grandes que pj. Ces valeurs sont

atleinles pour x := — c, d'après la valeur de ^ •

Chaque fois qu'on revient au même point du cycle limite, p leprend la même valeur et 8 se trouve aug-

( 219 ) mente d'une quantité constante en vertu de la formule

— - JL dx "" p^'

La trajectoire de mouvement relatif correspondant au cycle limite est donc une courbe telle que celle-ci kfië' ^^)' Gomme l'angle O n'est généralement pas

Fig. 10.

commeijsurable avec «, cette trajectoire n'est pas fermée en général. Elle recouvre tout l'iniervalle compris entre les deux cercles.

Les caractéristiques (|ui s'enroulent sur le cycle limite extérieurement correspondent à des trajectoires qui s'approchent indéfiniment de la trajectoire limile précédente, en la coupant (Tailleurs une infinité de fois. Les maxima du rayon vecteur p tendent vers pj par valeurs supérieures et les mini ma tendent vers pa par valeurs inférieures.

Au contraire, les caractéristiques qui s'enroulent autour du cycle limite intérieurement, correspondent à des trajectoires qui s'approchent indéfiniment de la trajectoire h'mile, mais telles que les maxima de leurs rayons vecteurs tendent vers p< par valeurs inférieures et les miuima ten<lent vers pa par valeurs supérieures.

Quand on suit ces trajectoires dans l'autre sens (le

point Q sur les caractéristiques tend alors vers le point A, foyer ou nœud), elles s'approchent indéfiniment du cercle de rayon

Cl)

qui correspond à

l'ellipse

passant par le foyer F. Elles coupent d'ailleurs ce cercle une infinité de fois; elles tendent vers ce cercle en festonnant.

Les circonstances suivantes peuvent donc se produire :

Si la caracléristique suivie aboutit au col C, il y a cTioc au bout cV un temps fini. La trajectoire présente la même forme que lorsque c >> i.

Si la caractéristique n'aboutit pas au col C :

Ou bien il n'y a pas de cycle limite et la trajectoire

se rapproche indéfiniment du cercle de rayon — "^ — en festonnant sur ce cercle; il ny a jamais rencontre; Ou bien il y a un cycle limite; si, alors, le point Qo est en dehors de ce cycle, la trajectoire s'approche mdéfiniment de la trajectoire limite; si le point Qo est à l'intérieur de ce cycle la trajectoire s'éloigne de cette Irajeeloiie limite pour s'approcher indéfiniment du

cercle de rayon "~ Dans l'un et l'autre cas il

*' tu

n^y tiura jaiuais rencontre.

En résumé, en ce qui concerne la rencontre : i"* c > i . — Il y a toujours rencontre au bout d'un temps fini.

2" c < I . — Il y a u"** infinité simple de chances i:ontre une (iplinité)* d^auires pour qu'il y ait rencontre au bout d'un temps fini (caractéristii]ue aboutissant eu C). Quand il ny a pas rencontre la trajectoire relative du point poursuivant s'approche indéfiniment d'une trajectoire limite comprise entre deux cercles ou bien festonne autour d'un cercle compris entre ces deux-là eu s'en approchant indétiniment.

Si maintenant Ton tient compte des dimensions finies des navires on voit que :

Si c>2, il y a toujours rencontre au bout d'un temps fini.

Si c<^2, il existe deux bandes de largeur égale à la somme des demi-dimensions des navires et dont les lignes moyennes sont les trajectoires qui correspondent aux caractéristiques passant par le col C ou le col G'. Ces bandes sont le Iles que, si la position initiale du navire P .s'y trouve, il y aura rencontre au bout d'un temps fini. Pour une position initiale de P non comprise dans ces bandes il n'y aura jamais rencontre.

Remarques. — i* Le rercle de rayon a une

signification évidente. Supposons que la droite PqIVIo [Jig. I i) soit perpendiculaire à OPq et que l'on ait

OPo= Rc;

le point P décrira indéfiniment le cercle OP„. En efl'et, pendant le temps dty le point M tourne de l'angle

a dt

Pendant le même teiups le point Po tourne de l'angle

b dt ^ a dt ■r7 ~ "ÏT"

On a alors

PoMo= v^R«— R«c«= R/i — c«= -i^i — c«.

Fig. II.

2° Si le point Qo est très voisin du poinl (c < i) la distance initiale des deux navires est très petite. On voit cependant qu^elIe ne s'annule jamais et reste toujours supérieure à une valeur fixe différente de zéro.

3® On voit par Texeniple (|ui vient d'être traité combien les circonstances (|U(* peuvent |>rés enter les courbes limites d'un système d'intégrales d'une écjuation différentielle du second ordre^ étudiées dans le domaine réel, sont plus compliquées que celles que présentent les cycles liinit(;s des sysïèmes de caractéristiques relatifs aux équations du premi(*r ordre.

CONTRIBUTION A l/BTUDE DE L ÉQUATION

Par m. a. GÉRARDIN.

Le théorème de Wilson, autrement dit l'équation (/? — i)! -+- 1 = M./? (/? premier),

a donné l'idée de chercher d'autres relations. C'est ainsi que la factorielle N! des nombres naturels, ou

celle Pî des nombres premiers, augmentée ou diminuée de l'unité, et devenant parfois un carré ou une somme de divers nombres figurés, s'est présentée fréquemment à l'attention des mathématiciens, qui ont énoncé à leur sujet quelques propositious, pour la plupart empiriques, ou dont la démonstration n'a pas encore abouti, et parmi lesquelles notamment la question proposée, après d'infructueuses recherches, par M. H. Brocard, successivement dans la Nouvelle Correspondance Mathématique {ji? 166, 1876, p. 287), les Nouvelles Annales de Mathématiques (n° 1532, i885, p. 391) et Mathesis (n*» 597, 1887, p. 280) ;

L'équation indéterminée en nombres entiers

n'admet pas d'autres solutions que

-« = 4, 5, 7; ^ = 5, II, 71

Cette question est demeurée sans réponse et, en 1897, M. E. Fauquenibergue en a sollicité de nouveau la recherche dans V Intermédiaire des Mathématiciens (n» 1264, p. i46).

La difficulté de la question réside en la nature de la

factorielle

qui ne peut se représenter par les symboles de l'Algèbre. C'est pourquoi il ne nous paraît possible de Tétudier que par échelons successifs, ce qui multiplie les hypothèses auxiliaires.

De nombreuses recherches dans la Tliéorie des nombres nous ont montré le rôle particulièrement important de la résolution en nombres entiers de

l'équation

ax^-^- hx -4- c =^*,

et la corrélation de ce problème avec celui de 1%'quation

Le présent travail est destiné à développer cette idée et montrera, à défaut de certitude décisive, que, s*il existe d'autres solutions que -3 = 4» 5, 7, elles doivent être extrêmement grandes.

L'hypothèse fonda mentale, reconnue exacte, est que Téquation

n'a pas de solution entre -8 = 7 ei z = 25. Nous supposerons donc z au moins égal à 26, ce qui donnera

z\ -h 1 = io*A -h I =y^.

On est ainsi d'abord amené à rechercher une solution de Téqualion

IO«/l -h I =^*,

^ ne peut èlre ici que lox-hi ou 10X-I-9.

I ° y = 1 o j: -h I . — On aura

looar*-!- 2037-4- I = lo^A -hi,

2ar(5a7-*- i) = 2*.5*/i.

Or 5x+i ne sera jamais m. 5, d'où

X = 5*a, et alors