JUIN
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PARIS, GAUTHIER-VILLAKS, IMPHIMEUH-LIBRAIHE
DU BOBEAO DES LONGITUDKS, DE l'ÉCOLE POLÏTEC 11 N IQU E ,
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La Rédaction.
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ETUDE DES POINTS A L'rNPMïïTNB COURBE ALGÉBRIOUEC);
Par mm. PERNOT et MOISSON, Anciens élèves de TÉcole Polytechnique.
On sait que les points communs à la courbe et à la droite de Tinfini sont dans 'les directions obtenues en égalant h zéro les termes du plus haut degré :
xPyii^y — axy*-(y -- bx)^,..{y — lx)^= o.
La multiplicité du point a Tinfini dans la direction y=zax est obtenue en coupant par y — ax = 8, et constatant l'abaissement du degré de Téquation aux x de rencontre.
Pratiquement, on cherche le groupe homogène de degré le plus élevé qui ne soit pas divisible par j^ — axi la différence entre le degré de l'équation et celui de ce groupe homogène est l'ordre de multiplicité du point à l'inGni.
Si cet ordre est a, la droite à l'infini, rencontrant en a points seulement, n'est pas tangente; on trouvera a asymptotes, réelles ou imaginaires à distance finie.
Si Tordre est inférieur à a, la droite à Tiufini est nécessairement tangente, il y a branche parabolique simple ou multiple; il peut y avoir certaines branches de courbe à l'infini ayant une tangente ordinaire, c'està-dire que la courbe peut avoir bimultanéiuent des
(') Cet article fait suite à celui qui a pour titre : Sur la construction des courbes algébf iques (p. 106 du présent Tome).
Ann, de Mathémat., 4* série, t. VI. (Juin 1906.) 16
branches paraboliques et des branches hyperboliques dans une même direction.
Nous étudierons d'abord les branches hyperboliques dans les directions où l'ordre de multiplicité du point est le même que celui de la direction a^ymptotique ; en second lieu, les branches paraboliques existant seules ; enfin les branches hyperboliques et paraboliques simultanées.
Les procédés employés sont analogues à ceux employés pour l'étude de la courbe aux environs d'un point à distance finie ; ces procédés permettent d'obtenir un tracé correct de la courbe et de fixer la position ainsi que le genre des' branches paraboliques.
