I. — Direction asymptotique simple
Soit ^ — c j: := o, cette direction. L'équation de la courbe est de la forme
(^ — cor) 4;;^tCar, j) 4- (p„.,(a7,^) 4- 9«-r(a7,^) H-. . . = o.
Si ^n-t{j^)J") est identiquement nul, la droite y — cx = o est l'asymptote elle-même, car elle rencontre la courbe en deux points au moins, confondus en un point simple à Tinfini, elle est donc tangente à l'inlini.
Supposons ^N-ii^^y) noïi identiquement nul et soit ^n-r{jc'y y) de degré n — rie groupe homogène suivanl par ordre de degrés décroissants.
Posons y = tx^ t a pour limite c quand, x el ^ croissant sans limite, le point qui décrit la courbe s'éloigne à l'infini dans la direction considérée. Il vient
ou
Quand X croit sans litnîie, la limite de ^ — ex est l'ordonnée à Torigine d de l'asymptote. On a donc
a = — lim ; — = — \ ; r;
on retrouve la règle connue. L'asymptote est alors la
droite
y — ex — d=^o.
Pratiquement, on résout l'équation de la courbe par rapport au facteur y — ex pris dans les termes du plus haut degré
y ç^^ (p„-i(a7,r)-Kp«-;.(ar,^)+...
. On remplace dans le second membre y par cj?, il reste une fraction rationnelle, quotient de deux polynômes entiers en x, dont on cherche la limite pour x infini.
Exemple :
x^{ix -r ^y) — {y — x) (Zy -\- x) '-\- y — ix = o.
Cherchons l'asymptote parallèle à nx — iy=o. On a
Remplaçons dans le second membre y par rX en
remarquant qu'il suilQt de faire la substitution dans les termes du second degré. On a
— ^ a? X 3 ar H- . . .
dont la limite est — i. L'asjmptote chercliëe est IX — ^y = — 1.
Position de la courbe par rapport à l* asymptote, — Elle est donnée par le signe de y — ex — d ou, plus généralement, si Tasymptote est
la position est donnée par le signe de olx -\- |3^ -H y pour les coordonnées du point de la courbe quand il s^éloigne à rinfini, TasympLote partageant le plan eu deux régions pour les points desquelles la fonction dx + pjK -+- 7 «^st d'un signe ou de l'autre.
L'asymptote rencontre \tk courbe en deux points à Tinfini au moins. L'équation de la courbe peut donc se mettre sous la forme
(y— ex — d) [^n-\{^: y) -*- '^n-iiscy y)] -+- X (^» y) = o»
Xi^t y) étant un polynôme de degré au plus égal à 71 — 2. Efiectuons la division de "/^{x^y) par
y — ex — d; on aura
R{x) étant un polynôme de degré // — p, avec/;^ 2. On a donc
y — ex — d =
( 245 ) Quand x croit sans limite, le second facteur du second membre a pour limite — ■; -^ — -• Le sisne
V — c-x — d pour X infini est donc celui de
Le calcul se fait pratiquement de la manière suivante : on écrit
On réduit le second membre au même dénominateur; dans le numérateur de la fraction obtenue, on remplace y par ex ■+- d^ ce numérateur se réduit alors à — R(^); dans le dénominateur, on remplace y par ex et Ton prend les termes de plus haut degré en x au numérateur et au dénominateur; le signe de leur rapport est celui dey — ex — d.
Si p est pair, la courbe est de part et d'autre de son asymptote. H y a contact simple à l'infini si p = 2j point méplat à Tintini si /; == 2K avec K ]> i .
Si p est impair, il y a inflexion à l'infini et les deux branches de courbe sont asymptotes du même côté de la droite.
Dans les deux cas, la courbe est asymptote aux deux extrémités de la droite.
Remarquons enfin que, si R(j:) = o, on a
y — ex — û? = o.
Les racines de R(^) sont donc les abscisses des points de rencontre à distance finie de la courbe et de son asymptote. Pour la [)Osilion de la courbe, il suffit de calculer le terme de plus haut degré de R(x), qui permet de conclure.
( 246) Exemple, — Reprenons la courbe donnée en exemple précédemment
x^{ix — Zy) — (y — a?){3j^-*-a?)-*-^ — ix =. o.
L'asjmplote est
aa?— 3^-+-i = o.
L* équation de la courbe donne
o (y — a?) (3 y -4- rr) — y H- 23?
x* 3j^* — ixy -- y + aa?
Remplaçons dans le second membre^ par — r Il
vient, réductions faites,
6a? -r- a 3ar«
Le signe de cette expression est celui de - poor x
croissant sans limite. La courbe est donc dans la région positive (celle de l'origine) par rapport à Tasymptote pour X inûniment grand positif, et de Vautre côté pour X négatif. Il y a contact sim|)Ie à Tinfini. L'asymptote rencontre la courbe à distance finie en un troisième point dont l'abscisse est — - et, par suite,
Tordonnée jf — s'^O ^" +~'
Remarque. — Pour la détermination de l'asymptote, tout se passe comme si la courbe proposée était remplacée par la courbe
{y — ex) ^^^{x,y) H- <p„-.,(ar, y) = o,
courbe unicursale de degré n, puisqu'elle a un point multiple d*ordre n — i à Torigine.
( =»47 ) Pour Tétude de la positiaii de la courbe par rapport à son asymptote, il faut prendre un ternie de plus (généralement suffisant) et considérer la courbe
(y — ex) ^n-1 (a?, ^) -h ?/, -1 (ar, ^) •+• «p«-,.(a7, ^ ) = o OU
= — ?n-i(a^, y) — d^a -I (37, y) — f«-r(ar, y),
qu'on transforme immédiatement en la suivante, qui est unicursale :
x^*^^ (y — ex -- d) ^n-i(i , c) = — <p»-i(ar, ca:-4-é^)
— d^n^i{Xy cir-i-û?) — {p„^r(a?, cx-^d).
Si le degré du second membre s'abaisse au-dessous de n — /*, il faut alors prendre un terme de plus dans Téquation de la courbe proposée et Ton ramène de la même façon à une c:ottrbe unicursale.
IL — Point double a l*infini.
L'équation de la counbe peut s écrire, en supposant les asymptotes à distance finie,
(y — cx)^ ^n-ti^^ J^) -»- (r — ^^) X't-îC^» y) ou
en posant j^ = ta:, ou encore
{y — cx — a'){y'-cx — (i')-i- - <pn-j(i, ^) -+-...= o,
( 348 ) a' et J* étant les racines de Téqualion en X,
Quand x ex. y croissent sans limite de telle sorte que l tende vers c, c'est-à-dire quand le point s'éloigne à l'infini sur la courbe dans la direction donnée, a' et a^ ont pour limites les racines d! et â!' de l'équation en d :
';^/i a(i, c) et <p/i 2(i, c) pouvant être différents de zéro ou nuls, sans que les résultats suivants en soient changés, contrairement â la discussion analogue des tangentes en nn point double à distance finie. On a
Par suite, quant/ x eX, y croissent sans limite : lim(^ — ex — cP){y — ex ^ (T) = o.
L'un des facteurs au moins a donc une limite nulle. On vérifie facilement que l'une quelconque des deux droites
y — ex — d =^o^ y— -ex — ^=o
est asymptote, c'est-à-dire qu'elle rencontre la courbe en trois poinis au moins à l'infini. En effet, si l'on coupe la courbe par une quelconque de ces droites, la première par exemple, on est ramené au système des deux équations
d'^^m-i{^, cx-^d')-\-dy,n-t{x, ex-^d')
-^ffn-t{^i c:r-h â^')-+-<p«-8(^, car -h rf') -+-...= o, y :=si ex-i-d''^
( 349) les termes de degré n — 2 de la première sont
^*<!'«-j(a:, ex) -\-(f-^„-i(Xj ca?)-+-<p„,(a:, ex); le coefBcient de x"'^ est
et^^n-tih c)'^d'xn-%{h c)-l-9«-,(i, c),
qui est nul .
La première équation est donc au plus de degré n — 3 et la droite considérée rencontre bien la coiirbr en trois points à Tinfini.
Par suite, le faisceau des deux asymptotes est
(^— ca-)2 4/„,(i, c) 4- (j^ — car) X/i-j(i, c)-4- <P/i-j(i, c) = o.
On l'obtient pratiquement en prenant les termes de degré /i, de degré n — i et de degré n — 2, en mettant {y — cxy en facteur dans les premiers,^ — ex dans les seconds et en remplaçant dans les antres facteurs x par I et^ par c.
Si, dans l'équation ainsi obtenue, on remplace y — ex par d, on a Téquation aux ordonnées à Torigine cP et d^ des asymptotes.
Exemple. — Soit la courbe
(a:— ^)«(a:-hj^)*-h(ar-h7)(ar— 7)(2jK — ar)
~ i'ix — y) (2}r -h x) -h X =0.
Cherchons les asymptotes parallèles à x — y=zo. Prenons les trois premiers groupes du [)remier membre en y remplaçant (x — yY par rf'-*, x — y par d et partout ailleurs x et y par 1, puisque le coefiicient angulaire est I . Ou a
Les deux asymptotes sont
On aurait de même les deux asymptotes parallèles
Discussion, — Si d' et ff sont imaginaires, on a un point double isolé. Si d' et d^ sont réels et distincts, on a deux asymptotes [parallèles tangentes à Tinfini à deux branches de courbes réelles. Si Téquation en ^ a une racine double, on a une asymptote double ; la réalité des branches de courbe à Tinfîni dans re cas sera discutée plus loin.
Tout se passe comme si la courbe était remplacée par la courbe auxiliaire :
Position de la courbe par rapport à son asymptote. — Uasymptote tangente en un point double à TinGni y rencontre la courbe en trois points au moins. Si les deux asymptotes sont distinctes, on peut écrire
y — ex — d'
(y--cx)^n-ii^^:y)
On verrait alors, par le nième raisonnement (|ue dans le cas de Tasymptote simple, que le signe du premier membre pour x infini est celui du second membre dans lequel on a remplacé j^ par cx-\-d' ai que le nujnérateur de la fraction est alors un polynôme «de de^ré au plus égal à 71 — 3. Tout se passe doue alors comme si Ton considérait la courbe
(y — cxy^n-i(^, y) -+■ {y — cx)xn-i(^^ y)
(a5, ) obtenue en prenant les quatre premiers groupes de Téquation proposée. La courbe précédeote peut alors elle-même être remplacée par la suivanie qui s*en déduit :
(y — car — <f )(^ - car)4/„,(a7, y) -h *„s(a:, y) = o.
Enfin cette courbe peut elle-même être remplacée par la courbe unicursale
if(^ — ca?-dr)4;„t(i,c)H-^*«-i(i,c)=:o.
Ce sont ces différentes transformations qu'on opère en agissant comme il est dit.
Si le degré du numérateur de la fraction obtenue s'abaissait au-dessous de n — 3, il faudrait alors prendre en plus dans l'équation le groupe ^n-*{^^y) et ainsi de suite; et, d^une manière générale, tout se passerait comme si l'on remplaçait à Tinlini la courbe proposée par une courbe unicursale de la forme
dHy — cx~ d)^a-t{iy c) -f- ^*„p t(i, c) = o.
Exemple. — Appliquons ce procédé à la courbe étudiée précédemment
— (3ar — ^)(2^-ha)-f-:r = o et à son asymptote x — y — i = o. On a
^ —{3C'^y)(x— y) (iy ^ a?) -H (3 37 -^y) {iy -\-x)—x
j~ (a?-*-:r)(^— r)(-^r — ^) + (3ar— ^)(2^-+-a?) |
Remplaçons dans le second membre x par y -h i, il se réduit, tous calculs faits, à
ce qui, pour y infiniment grand, montre que la fonction X — y — I est du signe de y et, par suite, qu'à Tinfini la courbe est par rapport à son asymptote dans la même région que Torigiiie du côté des y négatifs et dans la région opposée du côté desj^ positifs. La courbe coupe l'asymptote au point pour lequel y = o.
Si rf'= d" = rf, c*est-à-dire si Tasymptote est double, l'équation de la courbe peut se mettre sous la forme
{y — ex — dy 4/n-i(a?,^) + ?/i-»(a:, j^) -+-...= o.
La discussion s'opère alors de la même façon que pour les tangentes doubles à l'origine.
Si y/j 8(i, c) ^ o, tout se passe comme si l'on avait la courbe
il y a rebroussemcnl de première espèce à l'infini, dans la région des x positifs ou négatifs suivant le signe du
coefficient de -• La courbe auxiliaire a son équation
résoluble en y :
y X 4^rt-,(i,
Si y;i j(i,c) = o ou si Çn-8(jc,y) est identiquement nul, on opère d*une façon générale comme pour les tangentes, et le procédé pratique de calcul peut s'énoncer de la façon suivante :
( »53 ) Ou met d'abord l'équation de la courbe sous la forme
{y —ex — rf)«4/„,(:r, y) 4- <p„-p(ar, r) -»-• • •>
en remplaçant dans réqualîon de la courbe ordonnée en groupes homogènes {y — cx)"^ par {y'— ex — dy, puis en complétant Téquation par les termes ainsi ajoutés changés de signe*, on conserve dans ce qui suit les groupes successifs en s'arrètant au premier non divisible par y — ex,
1° Le seeond groupe On-p{xy) n'est pas divisible par y — ex. — On remplace, dans ^n-2 ^^ dans 0/i^, y par cjc, ce qui revient à prendre la courbe auxiliaire
Si /? est impair, on a rebroussement de première espèce (^g^. i).
Fig. I.
Si p est pair, point double isolé à TinGni si le coef-
cient A = - ^''-^['^""l est négatif.
Si p est pair et A positif, on a deux branches de courbe tangentes à Tinfini de part et d'autre de l'asymptote {fig. 2).
2° Un eertain nombre de groupes sont div^isibles par y — ex. — On cherche après le premier terme tous ceux consécutifs qui sont divisibles par (y — cxy et Ton remplace comme précédemment (y — cxy par
{^y — ex — dY\ dans les termes qui snîv«nl, on remplace de même y — ex par y — cX'—dy de façon à
me tire Téquation sous la forme
{y—cx — d)^ W„^t{x,y)
H- (^ — ca? — d)^n--q{Xy y) -h X„r(ar, y)-^... = o.
Dans les tiois polynômes ^, <t>, X ainsi formés, on ne conserve que les groupes homogènes de plus haut degré et Ton y remplace y par car. On obtient ainsi l'équation
(^— ca? — rf)«<|;„»(i,c)
"^ ^FT^-^ ~ ^^ -^)?n-<7(î, C) -h -^X«-r(», C) = O.
Enfin on décompose en une somme de carrés le trinôme en ^ — ex — d ainsi formé. S'il est carré parfait, on prend un groupe de plus dans Téquation. On le met ainsi, dans tous les cas, sous la forme
[y — ex — a r) =
Tout revient à remplacer la courbe proposée par la précédente.
h impair, — Rebroussement de seconde espèœ
{fig- 3).
( 255 ) h i>air. — Poinl double isolé si B<Co; contact double
Fig: X
à l'iiiGni sî B > o [d'un mêuie côlé si q pair {fig> \)\
de part et d'autre sî q impair {fig. 5)].
Fig. 5.
